岡山大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

自然数 $a$ を $7$ で割ったあまりを $R (a)$ と書くことにする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数 $n$ に対して $R (2^{n + 3}) = R (2^{n})$ となることを示せ．

(2)　 $R (2^{2017})$ を求めよ．

(3)　自然数 $m$ が $R (2^{2017} m + 2^{29}) = 5$ を満たすとき， $R (m)$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期文系第2問

$2^{3} = 8$ が7で割ると1余ることから， $2^{n}$ の余りが3周期であることを使う。大きい指数は3で割った余りだけを見て，最後は7を法とする一次合同式に直す。

$2^{3} = 8$ であり，これは7で割ると1余る。したがって任意の自然数 $n$ について， $2^{n + 3} = 2^{n} \cdot 2^{3}$ は7で割った余りが $2^{n}$ と同じである。よって

R (2^{n + 3}) = R (2^{n})

である。

(1)より余りは指数について3周期である。 $2017 = 3 \cdot 672 + 1$ だから，

R (2^{2017}) = R (2) = 2

である。

同様に $29 = 3 \cdot 9 + 2$ だから

R (2^{29}) = R (2^{2}) = 4

である。また(2)より $R (2^{2017}) = 2$ であるから，条件は

R (2 m + 4) = 5

と同じである。すなわち $2 m + 4$ を7で割った余りが5であるから， $2 m$ を7で割った余りは1である。 $2 \cdot 4 = 8$ は7で割ると1余るので，

R (m) = 4

である。