岡山大学 2016年度文理共通数学第4問（別問題2）解答・解説

問題

座標空間内に，原点 $O (0, 0, 0)$ を中心とする半径 $1$ の球面 $S$ と $2$ 点 $A (0, 0, 1), B (0, 0, - 1)$ がある． $O$ と異なる点 $P (s, t, 0)$ に対し，直線 $A P$ と球面 $S$ の交点で $A$ と異なる点を $Q$ とする．さらに直線 $B Q$ と $x y$ 平面の交点を $R (u, v, 0)$ とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　ふたつの線分 $O P$ と $O R$ の長さの積を求めよ．

(2)　 $s$ を $u, v$ を用いて表せ．

(3)　 $l$ は $x y$ 平面内の直線で，原点 $O$ を通らないものとする．直線 $l$ 上を点 $P$ が動くとき，対応する点 $R$ は $x y$ 平面内の同一円周上にあることを証明せよ．

出典：岡山大学 2016年度前期文理共通第4問

方針

直線 $A P$ と球面の交点，直線 $B Q$ と $x y$ 平面の交点を順にパラメータ表示で計算し， $R = (s, t, 0) / (s^{2} + t^{2})$ を得る。(3)では，原点を通らない直線を $a x + b y = 1$ と書き，(2)の関係を代入して円の方程式に変形する。

解答

(1)

$ρ^{2} = s^{2} + t^{2}$ とおく。 $P \neq = O$ より $ρ > 0$ である。直線 $A P$ 上の点は

(λ s, λ t, 1 - λ)

と表せる。球面 $S$ との交点条件は

λ^{2} (s^{2} + t^{2}) + (1 - λ)^{2} = 1

であり， $A$ と異なる交点では

λ = \frac{2}{ρ ^{2} + 1}

である。よって

Q = (\frac{2 s}{ρ ^{2} + 1}, \frac{2 t}{ρ ^{2} + 1}, \frac{ρ ^{2} - 1}{ρ ^{2} + 1})

である。

直線 $B Q$ 上の点を $B + μ (Q - B)$ と表すと， $z = 0$ となるのは

μ = \frac{ρ ^{2} + 1}{2 ρ ^{2}}

のときである。したがって

R = (\frac{s}{ρ ^{2}}, \frac{t}{ρ ^{2}}, 0)

である。ゆえに

O R = \frac{1}{ρ}

となり，

O P \cdot O R = 1

である。

(2)

(1)より

u = \frac{s}{s ^{2} + t ^{2}}, v = \frac{t}{s ^{2} + t ^{2}}

である。したがって

u^{2} + v^{2} = \frac{1}{s ^{2} + t ^{2}}

であり，

s = \frac{u}{u ^{2} + v ^{2}}

である。

(3)

直線 $l$ は原点を通らないので，ある実数 $a, b$ を用いて

a x + b y = 1

と表せる。ただし $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ である。点 $P (s, t, 0)$ がこの直線上にあるから

a s + b t = 1

である。(1)から同様に

s = \frac{u}{u ^{2} + v ^{2}}, t = \frac{v}{u ^{2} + v ^{2}}

であるため，代入して

\frac{a u + b v}{u ^{2} + v ^{2}} = 1

を得る。すなわち

u^{2} + v^{2} = a u + b v

である。平方完成すると

(u - \frac{a}{2})^{2} + (v - \frac{b}{2})^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4}

となる。これは同一円周を表すので，対応する点 $R$ は $x y$ 平面内の同一円周上にある。

岡山大学 2016年度文理共通数学 第4問（別問題2）

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2016年度
文理共通数学第4問（別問題2）