岡山大学 2016年度文理共通数学第4問（別問題）解答・解説

問題

関数 $f (x) = 8 x^{3} - 6 x - 1$ について，以下の問いに答えよ．

(1)　 $f (x) = 0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

(2)　 $a = cos \frac{5 π}{9}$ とするとき， $f (a)$ の値を求めよ．

(3)　不等式

$- \frac{1}{5} < cos \frac{5 π}{9} < - \frac{1}{6}$

を証明せよ．

出典：岡山大学 2016年度前期文理共通第4問

方針

(1)は微分して極大値・極小値の符号を見る。(2)は $8 cos^{3} θ - 6 cos θ = 2 cos 3 θ$ を使う。(3)は $a = cos (5 π /9)$ が $(- 1/2, 1/2)$ にある根であることと，その区間で $f$ が単調減少であることから， $- 1/5$ と $- 1/6$ での符号を比べる。

解答

(1)

f^{'} (x) = 24 x^{2} - 6 = 6 (2 x - 1) (2 x + 1)

である。したがって $x = - \frac{1}{2}$ で極大， $x = \frac{1}{2}$ で極小となる。

f (- \frac{1}{2}) = 1, f (\frac{1}{2}) = - 3

である。また $x \to - \infty$ で $f (x) \to - \infty$ ， $x \to \infty$ で $f (x) \to \infty$ である。よってグラフは $x$ 軸と3回交わる。したがって $f (x) = 0$ を満たす実数 $x$ の個数は3個である。

(2)

$a = cos \frac{5 π}{9}$ とする。三倍角の公式より

8 a^{3} - 6 a = 2 (4 a^{3} - 3 a) = 2 cos \frac{5 π}{3}

である。 $cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}$ だから

f (a) = 8 a^{3} - 6 a - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0

である。

(3)

$\frac{π}{2} < \frac{5 π}{9} < \frac{2 π}{3}$ であるから

- \frac{1}{2} < cos \frac{5 π}{9} < 0

である。この区間では $f^{'} (x) = 24 x^{2} - 6 < 0$ となるので， $f (x)$ は単調減少である。

ここで

f (- \frac{1}{5}) = 8 (- \frac{1}{125}) - 6 (- \frac{1}{5}) - 1 = \frac{17}{125} > 0

であり，

f (- \frac{1}{6}) = 8 (- \frac{1}{216}) - 6 (- \frac{1}{6}) - 1 = - \frac{1}{27} < 0

である。(2)より $f (cos \frac{5 π}{9}) = 0$ であり， $f$ はこの区間で単調減少だから

- \frac{1}{5} < cos \frac{5 π}{9} < - \frac{1}{6}

である。

岡山大学 2016年度文理共通数学 第4問（別問題）

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2016年度
文理共通数学第4問（別問題）