岡山大学 2016年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

座標空間内に，原点 $O (0, 0, 0)$ を中心とする半径 $1$ の球面 $S$ と $2$ 点 $A (0, 0, 1), B (0, 0, - 1)$ がある． $O$ と異なる点 $P (s, t, 0)$ に対し，直線 $A P$ と球面 $S$ の交点で $A$ と異なる点を $Q$ とする．さらに直線 $B Q$ と $x y$ 平面の交点を $R (u, v, 0)$ とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　ふたつの線分 $O P$ と $O R$ の長さの積を求めよ．

(2)　 $s, t$ をそれぞれ $u, v$ を用いて表せ．

(3)　点 $P$ が $x y$ 平面内の直線 $a x + b y = 1 (a^{2} + b^{2} \neq = 0)$ 上を動くとき，対応する点 $R$ は $x y$ 平面内の同一円周上にあることを証明せよ．

出典：岡山大学 2016年度前期文理共通第2問

方針

直線 $A P$ をパラメータ表示して球面とのもう一つの交点 $Q$ を求める。次に直線 $B Q$ と $x y$ 平面の交点 $R$ を計算し， $(u, v) = (s, t) / (s^{2} + t^{2})$ を得る。最後はこの関係を逆に用いて直線の式を $u, v$ の円の方程式へ変形する。

解答

(1)

$ρ^{2} = s^{2} + t^{2}$ とおく。 $P \neq = O$ より $ρ > 0$ である。直線 $A P$ 上の点は

(λ s, λ t, 1 - λ)

と表せる。これが球面 $S$ 上にある条件は

λ^{2} s^{2} + λ^{2} t^{2} + (1 - λ)^{2} = 1

であり，整理して

λ {(ρ^{2} + 1) λ - 2} = 0

となる。 $A$ と異なる交点では $λ = \frac{2}{ρ ^{2} + 1}$ であるから

Q = (\frac{2 s}{ρ ^{2} + 1}, \frac{2 t}{ρ ^{2} + 1}, \frac{ρ ^{2} - 1}{ρ ^{2} + 1})

である。

直線 $B Q$ 上の点を $B + μ (Q - B)$ と表す。 $z = 0$ となる条件から

- 1 + μ (\frac{ρ ^{2} - 1}{ρ ^{2} + 1} + 1) = 0

であり， $μ = \frac{ρ ^{2} + 1}{2 ρ ^{2}}$ である。したがって

R = (\frac{s}{ρ ^{2}}, \frac{t}{ρ ^{2}}, 0)

である。よって

O R = \frac{s ^{2} + t ^{2}}{ρ ^{4}} = \frac{1}{ρ}

であるから

O P \cdot O R = ρ \cdot \frac{1}{ρ} = 1

である。

(2)

(1)より

u = \frac{s}{s ^{2} + t ^{2}}, v = \frac{t}{s ^{2} + t ^{2}}

である。したがって

u^{2} + v^{2} = \frac{1}{s ^{2} + t ^{2}}

であり，これを用いて

s = \frac{u}{u ^{2} + v ^{2}}, t = \frac{v}{u ^{2} + v ^{2}}

である。

(3)

点 $P$ が直線 $a x + b y = 1$ 上にあるから

a s + b t = 1

である。(2)の式を代入すると

\frac{a u + b v}{u ^{2} + v ^{2}} = 1

である。したがって

u^{2} + v^{2} = a u + b v

となる。平方完成して

(u - \frac{a}{2})^{2} + (v - \frac{b}{2})^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4}

を得る。 $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ であるから，これは同一円周を表す。よって対応する点 $R$ は $x y$ 平面内の同一円周上にある。

岡山大学 2016年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2016年度
文理共通数学第2問