問題
を実数とする。空間内の3点，，を含む平面をとし，2点，を通る直線を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 平面が直線と共有点をもつための，の条件を求めよ。
(2) 平面が線分(両端を含む)と共有点をもつための，の条件を求めよ。
方針
平面 は を通るので， と の両方に垂直な法線ベクトルを作る。直線 は とパラメータ表示し，この点が平面 上にある条件を の一次方程式にする。(1)はその方程式が解を持つかどうか，(2)は交点のパラメータが線分に対応する に入るかどうかを調べる。
解答
(1)
まず である。これらに垂直なベクトルとして をとる。実際， であり， である。したがって は平面 の法線ベクトルである。
直線 上の点を とおく。ここで だから である。点 が平面 上にある条件は である。 より であり，内積を計算すると である。整理して を得る。
この一次方程式が解を持つかを調べる。 のときは についてただ1つの解を持つので，平面 と直線 は共有点を持つ。 のときは左辺の の係数が0になり，定数項は で0ではないため，解を持たない。
したがって求める条件は である。
(2)
(1)で得た方程式から， のとき交点に対応する は である。直線上の点 が線分 上にあるための条件は である。
まず を考える。 であるから，分子と分母が同符号である必要がある。境界は と なので， である。
次に を調べる。 のときは であるから， の両辺に を掛けると不等号が反転して となる。すなわち であり， である。よってこの場合は となる。
一方， のときは であるから， が必要になる。しかしこれは となり， と両立しない。
したがって，平面 が線分 と共有点を持つための条件は である。