名古屋大学 2026年度
理系数学 第1問

解答

(1)

曲線上の点を $(x,y)=\left(x,\frac{1}{x}\right)$ とおく。原点からこの点へ向かう動径が，$x=a$ から $x=b$ まで動くときに掃く面積が，求める面積 $S$ である。 $x$ が $x+dx$ に変わるとき，2つの動径と曲線の小さい弧でできる微小部分の面積は，2つのベクトル $\left(x,\frac{1}{x}\right),\left(x+dx,\frac{1}{x+dx}\right)$ が作る三角形の面積で近似できる。その極限は $\frac{1}{2}\left|x\frac{dy}{dx}-y\right|dx$ である。ここで $y=1/x$ だから $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2}$ であり，

である。

したがって $S={\int }_a^b\frac{dx}{x}=\boxed{\log \frac{b}{a}}$ である。

(2)

直線 $OA$ の傾きは $\frac{1/a}{a}=\frac{1}{a^2}$ であり，直線 $OB$ の傾きは $\frac{1/b}{b}=\frac{1}{b^2}$ である。$a<b$ なので $\frac{1}{a^2}>\frac{1}{b^2}$ である。2直線のなす角 $\theta$ について

である。 $\theta =\pi /4$ なので $\tan \theta =1$ である。よって $b^2-a^2=a^2{b}^2+1$ となる。これを $b^2$ について解くと $b^2(1-a^2)=a^2+1$ である。$0<a<1$ より $1-a^2>0$ だから $b^2=\frac{a^2+1}{1-a^2}$ である。$b>0$ より $\boxed{b=\sqrt{\frac{a^2+1}{1-a^2}}}$ である。

(3)

(2)の条件のもとで $S=\log \frac{b}{a}$ である。$x=a^2$ とおくと，$0<a<1$ より $0<x<1$ である。また $\frac{b^2}{a^2}=\frac{x+1}{x(1-x)}$ だから $S=\frac{1}{2}\log \frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}\log \frac{x+1}{x(1-x)}$ である。対数関数は単調増加なので，$h(x)=\frac{x+1}{x(1-x)}$ を最小にすればよい。

微分すると

である。分母は $0<x<1$ で正なので，符号は $x^2+2x-1$ で決まる。この2次式の $0<x<1$ にある根は $x=-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$ である。したがって $h^{\prime }(x)<0$ から $h^{\prime }(x)>0$ に変わるので，$h(x)$ は $x=\sqrt{2}-1$ で最小となる。

ゆえに $a^2=\sqrt{2}-1$ であり，$a>0$ だから，$S$ の最小値を与える $a$ は $\boxed{a=\sqrt{\sqrt{2}-1}}$ である。