名古屋大学 2024年度理系数学第2問解答・解説

問題

$c$ を1より大きい実数とする。また， $i$ を虚数単位として， $α = \frac{1 - i}{2}$ とおく。複素数 $z$ に対して，

P (z) = z^{3} - 3 z^{2} + (c + 2) z - c, Q (z) = - α^{7} z^{3} + 3 α^{6} z^{2} + (c + 2) α z - c

と定める。

(1) 方程式 $P (z) = 0$ を満たす複素数 $z$ をすべて求め，それらを複素数平面上に図示せよ。

(2) 方程式 $Q (z) = 0$ を満たす複素数 $z$ のうち実部が最大のものを求めよ。

(3) 複素数 $z$ についての2つの方程式 $P (z) = 0$ ， $Q (z) = 0$ が共通解 $β$ を持つとする。そのときの $c$ の値と $β$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

まず $P (z)$ を因数分解し，解を $1, 1 \pm i c - 1$ として複素数平面上に読む。次に $α^{4} = - 1$ を用いて $Q (z) = P (α z)$ を確認する。これにより $Q (z) = 0$ の解は， $P (w) = 0$ の解を $z = α^{- 1} w$ で回転したものになる。(2)は3つの候補の実部を比較する。(3)は共通解 $β$ について， $β$ と $α β$ がともに $P$ の解であることを使い，絶対値を保つ回転で対応できる組を調べる。

解答

(1)

$P (z)$ を因数分解する。

P (z) = z^{3} - 3 z^{2} + (c + 2) z - c = (z - 1) (z^{2} - 2 z + c)

である。 $c > 1$ なので， $z^{2} - 2 z + c = 0$ の解は $z = 1 \pm 1 - c = 1 \pm i c - 1$ である。したがって $P (z) = 0$ の解は $z = 1, z = 1 + i c - 1, z = 1 - i c - 1$ である。複素数平面上では，実部がすべて1で，虚部が $0, c - 1, - c - 1$ である3点に対応する。

(2)

$α = \frac{1 - i}{2}$ であるから， $α^{4} = - 1$ ， $α^{8} = 1$ である。よって $- α^{7} = α^{3}, α^{6} = - α^{2}$ である。したがって

P (α z) = α^{3} z^{3} - 3 α^{2} z^{2} + (c + 2) α z - c = - α^{7} z^{3} + 3 α^{6} z^{2} + (c + 2) α z - c = Q (z)

である。

よって $Q (z) = 0$ は $P (α z) = 0$ と同値である。 $P (w) = 0$ の解を $w$ とすれば $α z = w, z = α^{- 1} w = \frac{1 + i}{2} w$ である。

$s = c - 1$ とおく。 $P (w) = 0$ の解は $w = 1, 1 + i s, 1 - i s$ である。対応する $z$ の実部はそれぞれ $\frac{1}{2}, \frac{1 - s}{2}, \frac{1 + s}{2}$ である。 $s > 0$ なので，最大は $w = 1 - i s$ に対応する場合である。したがって求める解は $z = \frac{1 + i}{2} (1 - i s) = \frac{1 + s}{2} + i \frac{1 - s}{2}$ である。すなわち $z = \frac{1 + c - 1}{2} + i \frac{1 - c - 1}{2}$ である。

(3)

共通解 $β$ があるとする。 $P (β) = 0$ かつ $Q (β) = 0$ であり， $Q (β) = P (α β)$ だから， $β, α β$ はいずれも $P (z) = 0$ の解である。

$P (z) = 0$ の解は $1, 1 + i s, 1 - i s (s = c - 1 > 0)$ である。 $α$ は絶対値1の複素数なので，掛けても絶対値は変わらない。解 $1$ の絶対値は1であり， $1 \pm i s$ の絶対値は $1 + s^{2} > 1$ である。したがって $β = 1$ は不可能である。

よって $β$ は $1 + i s$ または $1 - i s$ であり， $α β$ はもう一方の共役な解でなければならない。まず $β = 1 + i s, α β = 1 - i s$ の場合を調べる。左辺を計算すると

α (1 + i s) = \frac{1 - i}{2} (1 + i s) = \frac{1 + s}{2} + i \frac{s - 1}{2}

である。これが $1 - i s$ に等しいので $\frac{1 + s}{2} = 1, \frac{s - 1}{2} = - s$ を得る。どちらからも $s = 2 - 1$ が従う。

逆に $β = 1 - i s$ として $α β = 1 + i s$ となる場合を調べると，実部または虚部の比較から正の $s$ は得られない。したがって上の場合だけである。

よって $c = 1 + s^{2} = 1 + (2 - 1)^{2} = 4 - 22$ であり， $β = 1 + i (2 - 1)$ である。したがって $c = 4 - 22, β = 1 + i (2 - 1)$ である。

名古屋大学 2024年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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理系数学第2問