名古屋大学 2024年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$u=\sqrt{x}$とおくと，$x>0$より$u>0$であり，$f(x)=u+\frac{2}{u}$ である。相加相乗平均より $u+\frac{2}{u}\geqq 2\sqrt{u\cdot \frac{2}{u}}=2\sqrt{2}$ である。等号は $u=\frac{2}{u}$ すなわち $u^2=2$ のときに成り立つ。したがって$x=u^2=2$で極小値 $\boxed{2\sqrt{2}}$ をとる。$x\to 0+0$または$x\to \infty$で$f(x)\to \infty$となるので，極大値はない。

(2)

接点の$x$座標を$s$とする。$s>0$である。まず $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{x-2}{2x\sqrt{x}}$ である。$s=2$のとき接線は水平で，$y=2\sqrt{2}$となり，$x$軸上の点を通らない。したがって$s\ne 2$として考える。

接線の方程式は $y=f(s)+f^{\prime }(s)(x-s)$ である。これが$x$軸と交わる点の$x$座標を$t$とすると，$y=0$を代入して $t=s-\frac{f(s)}{f^{\prime }(s)}$ である。ここで

だから

である。そこで $\varphi (s)=-\frac{s(s+6)}{s-2}$ とおく。

微分すると ${\varphi }^{\prime }(s)=-\frac{(s-6)(s+2)}{(s-2{)}^2}$ である。$0<s<2$では${\varphi }^{\prime }(s)>0$で，${\lim }_{s\to 0+}\varphi (s)=0,{\lim }_{s\to 2-}\varphi (s)=+\infty$ だから，この区間の値域は$(0,\infty )$である。よって$t>0$なら接線は1本である。

一方，$s>2$では，$2<s<6$で${\varphi }^{\prime }(s)>0$，$s>6$で${\varphi }^{\prime }(s)<0$である。また

である。したがって$s>2$側では，$t<-18$のとき2本，$t=-18$のとき1本，$-18<t<0$のとき0本の接線が引ける。

以上より，ちょうど2本の接線を引くことができるのは $\boxed{t<-18}$ のときである。

(3)

(2)より，ちょうど2本の接線があるとき，2つの接点の$x$座標$\alpha ,\beta$はいずれも2より大きい。したがって $\varphi (\alpha )=\varphi (\beta )$ を満たす。$s>2$では $\frac{s(s+6)}{s-2}=s+8+\frac{16}{s-2}$ であるから，$\varphi (\alpha )=\varphi (\beta )$は $\alpha +8+\frac{16}{\alpha -2}=\beta +8+\frac{16}{\beta -2}$ と同値である。$\alpha \ne \beta$なので整理すると $(\alpha -2)(\beta -2)=16$ を得る。

$\alpha ,\beta$が整数で$\alpha <\beta$，かつ$\alpha ,\beta >2$であるから，$\alpha -2$と$\beta -2$は正の整数で，積が16である。正の約数の組を調べると $(\alpha -2,\beta -2)=(1,16),(2,8)$ である。したがって $\boxed{(\alpha ,\beta )=(3,18),(4,10)}$ である。