問題
を自然数とする。表と裏が出る確率がそれぞれのコインを回投げ，以下のように得点を決める。
● 最初に数直線上の原点に石を置き，コインを投げて表なら2，裏なら3だけ数直線上を正方向に石を移動させる。コインを回投げた後の石の位置をとする。
● の場合は得点を0，の場合は得点をとする。
たとえば，のとき，投げたコインが3回とも表のときは得点は0，投げたコインが順に裏，裏，表のときは得点はである。
(1) 回のうち裏の出る回数をとするとき，を求めよ。
(2) とする。得点が0でない確率および25である確率をそれぞれ求めよ。
(3) とする。得点が100である確率および奇数である確率をそれぞれ求めよ。
方針
表なら2，裏なら3進むので，裏が回なら最終位置はになる。得点が0でない条件は，裏がちょうど2回出ることと同値である。裏の出た時刻をとすると，すべて表の場合の位置和に対して，回目の裏はその時刻以後のすべての位置を1ずつ増やすのでを加え，回目の裏はを加える。この寄与の見方でを数え上げる。
解答
(1)
回のうち裏が回出たとする。表は回である。表が出ると2だけ，裏が出ると3だけ進むので，最終位置は である。したがって である。
(2)
のとき，得点が0でないための条件は である。(1)よりなので，これは と同値である。よって得点が0でない確率は である。
次に，裏が出た回をとする。4回とも表だった場合，位置はであり，その和は である。回目に裏が出ると，回目以後の位置が，すべて表の場合よりそれぞれ1だけ大きくなる。したがって，回目の裏の寄与は である。同様に回目の裏の寄与はである。
よって得点は である。これが25となる条件は であり，でこれを満たすのは の2通りである。したがって得点が25である確率は である。
(3)
のときも，得点が0でないためには でなければならない。(1)よりなので，やはり裏の回数は である。
裏が出た回をとする。9回とも表だった場合の位置の和は である。回目の裏はをそれぞれ1だけ増やすので，寄与はである。同様に回目の裏の寄与はである。したがって得点は となる。
得点が100となる条件は すなわち である。でこれを満たすのは の4通りである。よって得点が100である確率は である。
得点が奇数であるためには，まず得点が0でない必要があるので，裏は2回である。そのうえで得点 が奇数となるには，が奇数であればよい。のうち奇数は5個，偶数は4個であるから，の一方が奇数，他方が偶数となる選び方は 通りである。したがって得点が奇数である確率は である。