問題
次の問いに答えよ。
(1) 方程式の実数解をすべて求めよ。
(2) 実数がを満たすとする。とおくとき，をで表せ。
(3) 条件
を満たす0でない実数の組をすべて求めよ。
出典：名古屋大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1)で三次方程式を因数分解し，実数解が1つだけであることを確認する。(2)はという条件を対称式の基本量として使い，にまとめてを表す。(3)ではからを導き，(2)で得た式と(1)の三次方程式をつなげる。最後はを2次方程式の2解として求め，で順序を決める。
解答
(1)
与えられた三次式は と因数分解できる。二次式の判別式は であるから，これは実数解をもたない。したがって，実数解は のみである。
(2)
条件が成り立ち，であるから でもある。よって，和と積を用いる公式 に代入して を得る。したがって である。
(3)
は0でないので， は と同値である。したがって である。とおくと，(2)より である。条件から すなわち を得る。(1)より，この方程式の実数解はだけである。
よって である。したがっては2次方程式 の2つの解である。これを解くと である。条件より である。