問題
を0でない実数として，の関数のグラフをとする。
(1) 上において座標が最大となる点の座標を求めよ。
(2) と点を通る直線をとする。とが以外の共有点を持つためにが満たすべき条件を求めよ。また，そのとき，点の座標を求めよ。
(3) は(2)の条件を満たすとする。として，とおくとき，をで表せ。また，となるためにが満たすべき条件を求めよ。
出典：名古屋大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
放物線を平方完成して頂点を求める。直線の傾きを出し，放物線との交点方程式に代入すると，片方の解が頂点の座標であることから，もう一つの交点が求まる。がと一致する場合だけ除外する。(3)ではを頂点の座標として使い，を一度で計算してからへ整理する。最後はをに戻しての範囲を求める。
解答
(1)
放物線は と平方完成できる。よって座標が最大となる点は頂点であり， である。
(2)
とおく。なので，点の座標は0でない。したがって直線の傾きは であり，直線の方程式は である。
これと放物線との交点の座標は を満たす。整理すると である。この方程式の一つの解はの座標である。もう一つの解をとすると，解と係数の関係より である。より である。
この点がと異なるには すなわち である。問題の仮定でなので，求める条件は である。このとき，の座標は直線にを代入して である。したがって である。
(3)
である。まず を用いて距離の2乗を計算する。 であり， である。したがって である。を代入して整理すると となる。
一方， であり，さらに である。よって である。
は と同値であるから， すなわち である。ここで なので， である。左側の不等式は，すなわちを意味し，右側の不等式は すなわち を意味する。よって求める条件は である。