問題
数字1が書かれた球が2個，数字2が書かれた球が2個，数字3が書かれた球が2個，数字4が書かれた球が2個，合わせて8個の球が袋に入っている。カードを8枚用意し，次の試行を8回行う。
袋から球を1個取り出し，数字が書かれていたとき，
● 残っているカードの枚数が以上の場合，カードを1枚取り除く。
● 残っているカードの枚数が未満の場合，カードは取り除かない。
(1) 取り出した球を毎回袋の中に戻すとき，8回の試行のあとでカードが1枚だけ残っている確率を求めよ。
(2) 取り出した球を袋の中に戻さないとき，8回の試行のあとでカードが残っていない確率を求めよ。
方針
カードが取り除かれるかどうかは，残りカード枚数と出た数字の大小だけで決まる。(1) は復元抽出なので，最初の5回は必ず取り除かれて残り3枚になり，最後3回でちょうど2回取り除かれる確率を，状態ごとの確率で数える。(2) は非復元で8回後に0枚にするには8回すべてで取り除かれる必要がある。後ろから見ると，8回目は1，7回目は2以下，6回目は3以下という条件になり，残り球の個数を順に数える。
解答
(1)
球を毎回戻すので，各回で1,2,3,4の数字が出る確率はいずれも である。
最初の5回を考える。残りカードの枚数は，試行前に順に である。出る数字は最大でも4なので，この5回は必ずカードが1枚ずつ取り除かれる。したがって5回後の残りカード枚数は3である。
残り3回で最後にカードが1枚だけ残るためには，この3回のうちちょうど2回でカードが取り除かれればよい。ただし，取り除かれる確率は残り枚数によって変わる。
残り枚数が3のとき，数字1,2,3なら取り除かれるので確率は である。残り枚数が2のときは確率 ，残り枚数が1のときは確率 で取り除かれる。
最後3回の取り除かれ方を，取り除く場合を ，取り除かない場合を と書くと，必要なのは の3通りである。それぞれの確率は
である。したがって求める確率は
である。
(2)
球を戻さない場合，8回の試行後にカードが残っていないためには，8回すべてでカードが取り除かれなければならない。最初の5回は(1)と同じ理由で必ず取り除かれる。したがって，6回目，7回目，8回目に必要な条件だけを調べればよい。
5回取り除かれた後，6回目の前の残りカードは3枚であるから，6回目の数字は3以下でなければならない。7回目の前は2枚なので，7回目の数字は2以下でなければならない。8回目の前は1枚なので，8回目の数字は1でなければならない。
後ろから順に数える。8回目が1である確率は である。この1を取り除いた後，残り7個の中には，数字1が1個，数字2が2個，数字3が2個，数字4が2個ある。
7回目が1である場合，その確率は である。このとき残り6個のうち6回目に許される数字2,3は合わせて4個あるので，6回目の条件を満たす確率は である。
7回目が2である場合，その確率は である。このとき残り6個のうち6回目に許される数字1,2,3は合わせて4個あるので，やはり確率は である。
したがって求める確率は
である。
別解。(2) は直接数えてもよい。8個の球の数字の並びは，同じ数字2個ずつを区別しないと 通りである。条件は，6番目が3以下，7番目が2以下，8番目が1であることに等しい。
8番目と7番目がともに1のとき，6番目は2または3である。6番目が2なら残り5か所の並びは 通り，6番目が3でも同じく30通りである。よってこの場合は60通りである。
8番目が1，7番目が2のとき，6番目は1,2,3のいずれかである。6番目が1なら残りは数字2が1個，3が2個，4が2個なので30通り，6番目が2でも30通りである。6番目が3なら残りは数字1,2,3が1個ずつ，4が2個なので 通りである。よってこの場合は120通りである。
したがって有利な並びは 通りであり，求める確率は である。