問題
を実数とし，2つの関数とを考える。
(1) を因数分解せよ。
(2) とのグラフの共有点が2個であるようなを求めよ。
(3) は(2)の条件を満たし，さらにの極大値は1よりも大きいとする。とのグラフを同じ座標平面に図示せよ。
出典：名古屋大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
共有点は の異なる実数解で判定する。まず因数分解して，重解が生じると共有点数が2個になることを使う。(3) は候補 をそれぞれ調べ， の符号変化から極大値を確認して条件を満たす方を選ぶ。図示では共有点，接点， の極大・極小， の頂点を整理し，2つのグラフの上下関係も因数分解から読む。
解答
(1)
である。これを因数分解すると
だから である。
(2)
と の共有点の 座標は の実数解である。 は実数なので，通常は の3つが異なる実数解となり，共有点は3個である。
共有点が2個になるのは，この3つのうち2つが一致するときである。したがって である。
(3)
まず のときを調べる。このとき であり， である。 の符号は であるから， で極大， で極小となる。極大値は である。
次に のとき であり， である。極大を与える点は で，その極大値は である。ここで だから である。よって条件を満たすのは だけである。 のとき であるから，共有点は に対応する2点である。実際 なので，共有点は である。また は重解であるから，2つのグラフは で接する。 の特徴点は
である。 は頂点 をもつ下に開く放物線である。さらに より， では ， では で， では接する。したがって，上の共有点，接点，極大・極小，放物線の頂点を用いて同じ座標平面に図示すればよい。