問題
図のような1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて，辺AD上に点Pをとり，線分APの長さをとする。このとき，線分AGと線分FPは四角形ADGF上で交わる。その交点をXとする。
(1) 線分AXの長さをを用いて表せ。
(2) 三角形APXの面積をを用いて表せ。
(3) 四面体ABPXと四面体EFGXの体積の和をとする。をを用いて表せ。
(4) 点Pを辺AD上で動かすとき，の最小値を求めよ。
% 図は省略
出典：名古屋大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
立方体を座標化し，四角形 上の2直線 の交点をパラメータで求める。 と三角形 の面積は， 方向の係数と に垂直な成分で処理する。体積は を行列式で， を底面 と高さで求める。最後は 上の1変数関数を微分し，端点と臨界点を比較する。
解答
(1)
座標を
とおく。このとき は1つの平面上の四角形であり， より である。
直線 上の点は と表される。また直線 上の点は と表される。交点 では が成り立つ。 と より であるから である。したがって であり， だから である。
(2)
である。 は 軸方向なので， の に垂直な成分は であり，その長さは である。よって である。
(3)
まず四面体 の体積を求める。 を基準にすると
である。したがって
である。
次に四面体 を考える。三角形 は直角二等辺三角形で である。また は平面 上にあり， の 座標は だから，この平面からの高さは である。よって
である。
したがって である。
(4)
である。 とおくと である。分母は正なので，符号は で決まる。 にある零点は である。 が ， が で成り立つので，この点で最小となる。
最小値は
である。