名古屋大学 2020年度
理系数学 第3問

解答

(1)

定義より

である。

また $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+f^{\prime }(\pi -x)-f^{\prime }(\pi +x)-f^{\prime }(2\pi -x)$ である。$f^{\prime \prime }(x)>0$より$f^{\prime }(x)$は増加関数である。$0\leqq x\leqq \pi /2$では $x\leqq \pi +x,\pi -x\leqq 2\pi -x$ だから $f^{\prime }(x)\leqq f^{\prime }(\pi +x),f^{\prime }(\pi -x)\leqq f^{\prime }(2\pi -x)$ である。よって $F^{\prime }(x)\leqq 0$ である。

したがって$F$は$0\leqq x\leqq \pi /2$で減少関数であり、$x\leqq \pi /2$に対して $F(x)\geqq F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ となる。これで示された。

(2)

積分を4つの区間に分け、それぞれ$0\leqq x\leqq \pi /2$の積分に直す。

第1区間はそのまま ${\int }_0^{\pi /2}f(x)\cos xdx$ である。第2区間では$t=\pi -x$とおくと ${\int }_{\pi /2}^{\pi }f(x)\cos xdx=-{\int }_0^{\pi /2}f(\pi -t)\cos tdt$ である。第3区間では$x=\pi +t$とおくと ${\int }_{\pi }^{3\pi /2}f(x)\cos xdx=-{\int }_0^{\pi /2}f(\pi +t)\cos tdt$ である。第4区間では$t=2\pi -x$とおくと ${\int }_{3\pi /2}^{2\pi }f(x)\cos xdx={\int }_0^{\pi /2}f(2\pi -t)\cos tdt$ である。

これらを足し合わせ、文字$t$を$x$に戻すと ${\int }_0^{2\pi }f(x)\cos xdx={\int }_0^{\pi /2}F(x)\cos xdx$ となる。(1)より$F(x)\geqq 0$であり、$0\leqq x\leqq \pi /2$では$\cos x\geqq 0$だから $\boxed{{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos xdx\geqq 0}$ である。

(3)

後半の区間で$t=2\pi -x$とおくと、${\int }_{\pi }^{2\pi }g(x)\sin xdx=-{\int }_0^{\pi }g(2\pi -t)\sin tdt$ である。したがって ${\int }_0^{2\pi }g(x)\sin xdx={\int }_0^{\pi }\{g(x)-g(2\pi -x)\}\sin xdx$ となる。

$0<x<\pi$では$x<2\pi -x$である。$g^{\prime }(x)<0$より$g$は減少関数だから $g(x)>g(2\pi -x)$ である。また$0<x<\pi$では$\sin x>0$である。よって被積分関数は0以上であり、端点での値は積分に影響しない。したがって $\boxed{{\int }_0^{2\pi }g(x)\sin xdx\geqq 0}$ である。