問題
双曲線のの部分を，の部分をとする。以下の問に答えよ。
(1) 直線が，の両方と1点ずつで交わるためのの条件を求めよ。
(2) は(1)で求めた条件をみたすものとする。点をとり，直線と，の交点をそれぞれ，とする。このときの面積をを用いて表せ。
(3) 面積の最小値を求めよ。また，その最小値をとるためのの条件を求めよ。
出典：名古屋大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1)は直線を双曲線に代入し、交点の座標が満たす二次方程式を見る。左右の枝に1点ずつ交わることは、2つの座標が異符号になることと同じなので、解の積からを得る。(2)は交点間の距離と、点から直線までの距離を別々に求めて面積を出す。(3)はだけに依存する式に直し、一変数微分で最小値を求める。
解答
(1)
まずの場合、直線は、すなわちという縦線であり、双曲線の左右両方の枝と1点ずつ交わることはない。よってとしてよい。
直線から と表し、これをに代入する。すると であり、整理して を得る。
左右の枝に1点ずつ交わるためには、この二次方程式の2つの解が一方は正、一方は負であればよい。解の積は である。分子は負なので、積が負になる条件は である。このとき二次方程式は確かに異符号の2解をもち、左右の枝に1点ずつ交わる。よって条件は である。
(2)
とおく。交点の座標は の2解である。この2解の差の絶対値は、判別式を用いて である。ここで だから である。直線上ではなので、座標の差は座標の差の倍である。したがって
となる。
次に、点から直線までの距離は である。よって三角形の面積は
すなわち である。
(3)
とおくと である。微分すると である。したがってはで減少し、で増加するので、最小はで生じる。
最小値は であり、その条件は である。