問題
3つの数が相異なる素数となる正の整数が1つ固定されているものとする。以下の問に答えよ。
(1) 3つの数のうち，1つをとし，残りの2つをとする。このときとなるをすべて求めよ。
(2) 正の整数がをみたしているときを求めよ。
出典：名古屋大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
素数条件からまずが偶数であることを確認し、の大小を固定する。(1)は3つの候補を直接比較する。(2)はとおき、左辺をに変形する。は右辺の約数で、かつからを満たす。この2条件でをまたはに絞り、最後にそれぞれを代入してを決める。
解答
(1)
もしが奇数なら、は2より大きい偶数となり、素数ではない。したがっては偶数である。特にであり、 である。
のときは である。
のときは を調べればよい。これは すなわち と同値であり、なので成り立つ。
のときは、が3つの中で最大であり、 であるからは成り立たない。
よって求めるは である。
(2)
とおく。は正の整数なのでかつである。また だから、与えられた式は となる。
ここでは右辺の正の約数である。右辺は相異なる素数 の積である。またより なので が成り立つ。
はの約数で、である。候補は である。このうちは明らかに大きすぎてを満たさない。またについても、 ならが必要だが、なのでこれは不可能である。したがって に限られる。
のとき、正の整数でだからである。このときであるが、右辺からは が必要であり、に反する。よっては不適である。
のとき、 である。したがって となる。より であり、 である。
よって である。