名古屋大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面において $x, y$ がともに整数となる点 $(x, y)$ を格子点という。正の整数 $n$ に対して

x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ n

で定まる領域を $D$ とする。4つの頂点がすべて $D$ に含まれる格子点であり， $x$ 軸と平行な辺をもつ長方形の数を $R (n)$ とする。また，そのなかで特に1つの辺が $x$ 軸上にある長方形の数を $S (n)$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $R (3)$ と $R (4)$ を求めよ。

(2) $S (n)$ を求めよ。

(3) $R (n)$ を求めよ。

(4) $R (n) = 1001$ となる $n$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

長方形の上側の辺の高さを $j$ に固定する。高さ $j$ にある格子点は $x = 0, 1, \dots, n - j$ で、横方向の2本の辺を選ぶ方法は $_{n - j + 1} C_{2}$ 通りである。下側の高さは $0, 1, \dots, j - 1$ の $j$ 通り。これで(1)(3)が統一的に数えられる。(2)は下側を $x$ 軸に固定するので $j$ 倍が消える。(4)は得た閉じた式に代入し、単調性で一意性を確認する。

解答

(1)

長方形の上側の辺の高さを $y = j$ とする。 $1 ≦ j ≦ n$ である。この高さで領域 $D$ に含まれる格子点の $x$ 座標は $x = 0, 1, 2, \dots, n - j$ であり、個数は $n - j + 1$ 個である。長方形の左右の辺を決めるには、この中から異なる2つの $x$ 座標を選べばよいので $_{n - j + 1} C_{2}$ 通りである。また、下側の辺の高さは $0, 1, \dots, j - 1$ の $j$ 通りである。

よって $R (n) = \sum_{j = 1}^{n} j_{n - j + 1} C_{2}$ である。 $n = 3$ のとき $R (3) = 1_{3} C_{2} + 2_{2} C_{2} = 3 + 2 = 5$ であり、 $n = 4$ のとき

R (4) = 1_{4} C_{2} + 2_{3} C_{2} + 3_{2} C_{2} = 6 + 6 + 3 = 15

である。

(2)

1つの辺が $x$ 軸上にある場合、下側の辺は $y = 0$ に固定される。上側の高さを $j$ とすると、左右の辺の選び方は(1)と同じく $_{n - j + 1} C_{2}$ 通りである。したがって $S (n) = \sum_{j = 1}^{n}_{n - j + 1} C_{2}$ である。 $r = n - j + 1$ とおくと、 $r = 1, 2, \dots, n$ を動くので $S (n) = \sum_{r = 1}^{n}_{r} C_{2} =_{n + 1} C_{3}$ となる。よって $S (n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 )}{6}$ である。

(3)

(1)で得た式を計算する。 $r = n - j + 1$ とおくと $j = n - r + 1$ であり、

R (n) = r = 1 \sum n (n - r + 1)_{r} C_{2} = \frac{1}{2} r = 1 \sum n (n + 1 - r) r (r - 1)

である。これを展開すると

R (n) = \frac{1}{2} {(n + 1) r = 1 \sum n (r^{2} - r) - r = 1 \sum n (r^{3} - r^{2})}

である。和の公式

r = 1 \sum n r = \frac{n ( n + 1 )}{2}, r = 1 \sum n r^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, r = 1 \sum n r^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}

を用いて整理すると $R (n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24}$ となる。

(4)

$R (n) = 1001$ より $\frac{n ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24} = 1001$ である。すなわち $n (n - 1) (n + 1) (n + 2) = 24024$ である。 $n = 12$ を代入すると $12 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 14 = 24024$ であるから、 $n = 12$ は解である。

また $R (n)$ は、 $n$ が増えると領域 $D$ に含まれる格子点が増え、既存の長方形は失われないので単調に増加する。式から見ても正の整数 $n$ に対して各因子が増加する。したがって解は一意であり、 $n = 12$ である。

別解。

(3)は、2本の縦線 $x = p, q$ を先に選ぶ方法でも数えられる。 $0 ≦ p < q$ とすると、長方形の上辺の高さは $1$ から $n - q$ まで選べ、その下辺は上辺より低い高さから選ぶ。この方法でも最終的に同じ和に帰着する。ただし本解のように上辺の高さを固定した方が、(2)の $S (n)$ と自然につながる。

名古屋大学 2020年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

別解。

名古屋大学 2020年度
文系数学第3問