名古屋大学 2020年度
文系数学 第2問

解答

(1)

$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}=\vec{0}$ とする。両辺から$\overrightarrow{OR}$を移すと $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=-\overrightarrow{OR}$ である。両辺の長さの2乗を比べると、$|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OQ}|=|\overrightarrow{OR}|=1$より $1+1+2\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=1$ となる。したがって $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=-\frac{1}{2}$ である。同様に

も成り立つ。

すると

であり、同様に $Q{R}^2=R{P}^2=3$ である。よって三角形$PQR$は正三角形である。

(2) 命題(i)

とおく。$\vec{h}$は平面$ABC$に垂直で、$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$は平面$ABC$内のベクトルである。したがって $\vec{h}\perp \vec{u},\vec{h}\perp \vec{v},\vec{h}\perp \vec{w}$ である。

また$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$より $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=\sqrt{1-|\vec{h}{|}^2}$ である。この値は0ではない。もし0なら$A,B,C$がすべて$H$に一致してしまい、相異なる点であることに反する。

いま

であり、右辺の2つの成分は互いに直交する。よって

である。仮定より左辺は$9|\vec{h}{|}^2$だから $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}{|}^2=0$ すなわち $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$ である。

$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$は同じ長さの平面内ベクトルで、和が0である。これらを共通の長さで割って(1)を適用すると、端点$A,B,C$の作る三角形は正三角形である。

命題(ii)

仮定

より

である。一方、$|\overrightarrow{OH}|=1/3$なので $3|\overrightarrow{OH}|=1$ である。したがって命題(i)より、三角形$ABC$は正三角形である。

命題(i)の証明で得たように、$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\vec{0}$ である。よって

であり、全体の和が0であることから $\overrightarrow{OD}=-3\overrightarrow{OH}$ となる。

$|OH|=1/3$より $HA=HB=HC=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ である。正三角形$ABC$では、中心$H$から各頂点までの距離を$\rho$とすると一辺の長さの2乗は$3{\rho }^2$であるから、$A{B}^2=B{C}^2=C{A}^2=3{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2=\frac{8}{3}$ である。

また、$D$は$OH$の反対方向に$OD=1$となる点であるから、$HD=|OD|+|OH|=4/3$である。$HD$は平面$ABC$に垂直なので $A{D}^2=H{D}^2+H{A}^2=\frac{16}{9}+\frac{8}{9}=\frac{8}{3}$ である。同様に$B{D}^2=C{D}^2=8/3$である。したがって6本の辺がすべて等しく、四面体$ABCD$は正四面体である。