問題
を実数としてとおく。以下の問に答えよ。
(1) 方程式の解が，必ずをみたすためのの条件を求めよ。
(2) (1)で求めた条件をみたすに対して
とおく。の値を求めよ。
(3) の値が最小となるを求めよ。
出典：名古屋大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1)は二次方程式の2つの解を明示し、係数が正負に分かれることに注意して、どちらの解もに入る条件をまとめる。(2)は上に開く二次関数が2つの根の間で負になることを使い、全体の積分値に「負の部分の面積の2倍」を足して絶対値積分に直す。負部分の面積は根間距離だけで計算できる。(3)はがだけで決まることを利用して一変数の最小化にする。
解答
(1)
とおく。方程式を解くと である。したがって2つの解は である。
これらがともにを満たす条件は
である。第1の条件は であり、第2の条件より強い。よって求める条件は である。
(2)
(1)の条件のもとで、2つの根はともににある。上に開く二次関数なので、は2つの根の間で負、その外側で正である。
まず符号を外した積分を計算すると である。
2つの根の距離は である。一般にが2根の間でつくる負部分の面積は である。したがって本問の負部分の面積は である。
絶対値をつけると、負の部分は符号が反転するので、積分値には負部分の面積の2倍を加えればよい。よって である。
(3)
とおくと、(1)より であり、 である。微分すると となる。したがってはで減少し、で増加する。なお であるから、この値は許される範囲内にある。
よって最小となるのは のときであり、 である。
別解。
(2)の絶対値積分は、根の中点へ平行移動して計算してもよい。2根の距離をとすると、負の部分は の面積であり、これもになる。根間距離で覚えるのではなく、平行移動で確認できる。