問題
正の整数の正の平方根は整数ではなく，それを10進法で表すと，小数第1位は0であり，第2位は0以外の数であるとする。
(1) このようなの中で最小のものを求めよ。
(2) このようなを小さいものから順に並べたときに10番目にくるものを求めよ。
出典：名古屋大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
の整数部分を とし、 とおく。 の小数第1位が0で第2位が0以外という条件は、 と表せる。これを の不等式に直すと、各 に対して許される正整数 が数えられる。(1)は が初めて可能になる を探す。(2)は が増える順に も増えるので、各 の許される の個数を小さい から累積する。
解答
(1)
を の整数部分とし とおく。 は整数ではないので、 は正の整数である。
小数第1位が0で、第2位が0以外であることは と同値である。両辺を2乗して を代入すると すなわち である。
最小の を得るには、まず最小の正整数 が可能になる最小の を探せばよい。 が可能であるためには が必要十分である。右側の不等式から なので である。 は左側の不等式も満たす。したがって最小の は である。
(2)
各 について を満たす正整数 を数える。 では の範囲に入る正整数は だけである。したがってここまでで5個である。 では、条件を満たす正整数は の2個ずつである。よって までで 個である。
次に を見ると、やはり が可能である。小さい方は なので、10番目の数は である。したがって である。