問題
空間内にの直角二等辺三角形ABCと平面Pがある。点AはP上にあり，点Bと点CはP上にはなく，Pに関して同じ側に位置している。点B，CからPに下ろした垂線とPとの交点をそれぞれB'，C'とする。
(1) を示せ。
(2) を示せ。
(3) P上の三角形AB'C'の辺の長さは短いものから4，，7であった。このとき，辺ABの長さを求めよ。
方針
点から平面へ下ろした垂線を使い、 と を平面 上の成分と平面に垂直な成分に分ける。平面上の成分と垂直成分は直交するので、 を展開すると(1)が得られる。(2)は、 が平面の同じ側にあるため垂直成分どうしの内積が正であり、平面上の成分どうしの内積が負になることを使う。(3)では が鈍角なので、その対辺 が三角形 の最大辺になる。余弦定理で平面上の内積を求め、(1)から垂線の長さの積を出し、さらに を連立して解く。
解答
(1)
点 はそれぞれ から平面 に下ろした垂線の足であるから
である。ここで は平面 上のベクトルであり、 は平面 に垂直なベクトルである。したがって交差項は0になり
である。
また なので である。よって
が示された。
(2)
点 は平面 に関して同じ側にあるので、 と は平面 に垂直な同じ向きのベクトルである。また は平面 上にないので、どちらも零ベクトルではない。したがって である。
(1)より
である。内積が負であるから、平面 上の2つのベクトル 、 のなす角は鈍角である。よって である。
(3)
三角形 において が鈍角なので、その対辺 が最も長い。したがって である。残りの2辺は と である。
まず として計算する。このとき余弦定理の内積表示より
である。(1)から である。 、 とおく。 は平面 の同じ側にあるので、上の内積は に等しい。よって である。また は直角二等辺三角形で だから すなわち である。これより である。 と合わせて解くと である。したがって である。
なお と の長さ を入れ替えた場合も、同様に が入れ替わるだけで となる。