名古屋大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対し

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d θ}{cos ^{n} θ}

とする。

(1) $I_{1}$ を求めよ。必要ならば $\frac{1}{cos θ} = \frac{1}{2} (\frac{cos θ}{1 + sin θ} + \frac{cos θ}{1 - sin θ})$ を使ってよい。

(2) $n ≧ 3$ のとき， $I_{n}$ を $I_{n - 2}$ と $n$ で表せ。

(3) $x y z$ 空間において $x y$ 平面内の原点を中心とする半径1の円板をDとする。Dを底面とし，点 $(0, 0, 1)$ を頂点とする円錐をCとする。Cを平面 $x = \frac{1}{2}$ で2つの部分に切断したとき，小さい方をSとする。 $z$ 軸に垂直な平面による切り口を考えてSの体積を求めよ。

出典：名古屋大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は与えられた分解式を使って $sec θ$ の積分を対数に直す。(2)は $I_{n} = \int sec^{n} θ d θ$ の標準的な漸化式を、 $sec^{n - 2} θ tan θ$ の微分から作る。境界 $θ = π /3$ で $sec θ = 2$ 、 $tan θ = 3$ となることを使う。(3)は問題の指定どおり、 $z$ 軸に垂直な高さ $z$ の断面を考える。高さ $z$ での円錐の断面は半径 $1 - z$ の円板であり、平面 $x = 1/2$ によって切り取られる小さい円弧部分の面積を積分する。変数変換で積分順序を入れ替えると、(1)(2)で求めた $I_{1}, I_{3}$ が現れる。

解答

(1)

与えられた式より

\frac{1}{cos θ} = \frac{1}{2} (\frac{cos θ}{1 + sin θ} + \frac{cos θ}{1 - sin θ})

である。したがって

I_{1} = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /3} (\frac{cos θ}{1 + sin θ} + \frac{cos θ}{1 - sin θ}) d θ = \frac{1}{2} [lo g (1 + sin θ) - lo g (1 - sin θ)]_{0}^{π /3}

である。 $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ より

I_{1} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + \frac{3}{2}}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 + 3}{2 - 3}

である。ここで $(2 + 3) (2 - 3) = 1$ だから $I_{1} = lo g (2 + 3)$ である。

(2)

$n ≧ 3$ とする。

\frac{d}{d θ} (\frac{sin θ}{cos ^{n - 1} θ}) = \frac{1}{cos ^{n - 2} θ} + (n - 1) \frac{sin ^{2} θ}{cos ^{n} θ}

である。 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ を用いると

\frac{sin ^{2} θ}{cos ^{n} θ} = \frac{1}{cos ^{n} θ} - \frac{1}{cos ^{n - 2} θ}

だから

\frac{d}{d θ} (\frac{sin θ}{cos ^{n - 1} θ}) = (n - 1) \frac{1}{cos ^{n} θ} - (n - 2) \frac{1}{cos ^{n - 2} θ}

である。これを $0$ から $\frac{π}{3}$ まで積分すると

[\frac{sin θ}{cos ^{n - 1} θ}]_{0}^{π /3} = (n - 1) I_{n} - (n - 2) I_{n - 2}

である。左辺は

\frac{sin \frac{π}{3}}{cos ^{n - 1} \frac{π}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{( \frac{1}{2} ) ^{n - 1}} = 2^{n - 2} 3

なので $I_{n} = \frac{2 ^{n - 2} 3}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1} I_{n - 2}$ である。

(3)

高さ $z$ で円錐 $C$ を切ると、断面は中心を $(0, 0, z)$ とする半径 $1 - z$ の円板である。平面 $x = \frac{1}{2}$ で切った小さい方は、断面円板のうち $x ≧ \frac{1}{2}$ の部分である。これは $1 - z ≧ \frac{1}{2}$ 、すなわち $0 ≦ z ≦ \frac{1}{2}$ のときだけ現れる。 $R = 1 - z$ とおく。高さ $z$ での小さい部分の面積を $A (R)$ とすると

A (R) = 2 \int_{1/2}^{R} R^{2} - x^{2} d x (\frac{1}{2} ≦ R ≦ 1)

である。ここで $x = R cos θ$ とおくと、 $x = R$ で $θ = 0$ 、 $x = \frac{1}{2}$ で $cos θ = \frac{1}{2 R}$ である。したがって $A (R) = 2 R^{2} \int_{0}^{a r c c o s (1/ (2 R))} sin^{2} θ d θ$ である。

体積は $V = \int_{0}^{1/2} A (1 - z) d z = \int_{1/2}^{1} A (R) d R$ である。積分順序を入れ替えると、領域は $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}, \frac{1}{2 c o s θ} ≦ R ≦ 1$ となるので

V = \int_{0}^{π /3} \int_{1/ (2 c o s θ)}^{1} 2 R^{2} sin^{2} θ d R d θ = \int_{0}^{π /3} \frac{2 sin ^{2} θ}{3} (1 - \frac{1}{8 cos ^{3} θ}) d θ

である。ここで

\int_{0}^{π /3} sin^{2} θ d θ = [\frac{θ}{2} - \frac{sin 2 θ}{4}]_{0}^{π /3} = \frac{π}{6} - \frac{3}{8}

であり、また

\frac{sin ^{2} θ}{cos ^{3} θ} = \frac{1}{cos ^{3} θ} - \frac{1}{cos θ}

だから $\int_{0}^{π /3} \frac{s i n ^{2} θ}{c o s ^{3} θ} d θ = I_{3} - I_{1}$ である。(2)で $n = 3$ とすると $I_{3} = 3 + \frac{1}{2} I_{1} = 3 + \frac{1}{2} lo g (2 + 3)$ である。

以上より

V = \frac{2}{3} (\frac{π}{6} - \frac{3}{8}) - \frac{1}{12} (I_{3} - I_{1}) = \frac{π}{9} - \frac{3}{12} - \frac{1}{12} (3 - \frac{1}{2} lo g (2 + 3)) = \frac{π}{9} - \frac{3}{6} + \frac{1}{24} lo g (2 + 3)

である。

名古屋大学 2019年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2019年度
理系数学第1問