問題
1つのサイコロを3回投げる。1回目に出る目を，2回目に出る目を，3回目に出る目をとする。なお，サイコロは1から6までの目が等確率で出るものとする。
(1) 2次方程式が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求めよ。
(2) 2次方程式のすべての解が整数である確率を求めよ。
(3) 2次方程式が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求めよ。
方針
出る目の範囲が1から6までと小さいので、整数解条件を表にして重複なく数える。(1)はモニックな2次方程式なので、整数解を1つもてばもう一方も整数であり、正の整数根 が 、 を満たす場合を列挙する。(2)はすべての解が整数であるから、 とおき、、 を満たす正の整数 を数える。(3)は少なくとも1つの整数根 をもつ条件 を使い、各 ごとに可能な を列挙する。
解答
(1)
方程式 は最高次係数が1である。整数解を1つもてば、解と係数の関係からもう一方の解も整数である。、 なので、2つの整数解は正の整数である。
2つの解を とすると である。 を満たす正の整数の組を列挙すると である。対応する は の7通りである。 の出方はこの条件に関係なく6通りあるから、求める確率は である。
(2)
すべての解が整数であるとする。2つの整数解を とすれば、、 より は正の整数であり と書ける。したがって である。 を満たすものを ごとに数える。 としてよい。
である。合計は 通りである。よって求める確率は である。
(3)
少なくとも1つ整数解をもつ場合を数える。整数解を とすると より である。 なので であり、さらに を満たす必要がある。
各 について可能な を重複なく列挙すると
である。したがって条件を満たす は 通りである。よって求める確率は である。