問題
を実数とし，関数とを考える。関数のグラフが軸と異なる3点で交わるためのの条件を求めよ。
出典：名古屋大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まず を積分で明示し、 を3次式として整理する。 が異なる3つの実数解をもつことと、3次式のグラフが 軸と異なる3点で交わることは同値である。係数に分数が残ると判別式の計算が重くなるので、 を6倍した3次式 を用いる。3次方程式が異なる3実根をもつ条件は判別式が正であることなので、判別式を因数分解し、4つの境界点を小さい順に並べて符号を調べる。
解答
解答
である。したがって
である。 の両辺を6倍して とおく。6倍しても解は変わらないので、求める条件は3次方程式 が異なる3つの実数解をもつ条件である。
3次方程式が異なる3つの実数解をもつための必要十分条件は判別式が正であることである。 の判別式を計算すると である。よって を解けばよい。
ここで だから、零点は である。これらを小さい順に並べると である。各因子の符号を調べると、積が正になるのは のときである。
したがって求める条件は である。
別解。判別式を用いずに進めるなら、 の2つの極値で の値が異符号になることを調べてもよい。ただしこの方法でも極値を代入した式の整理は判別式と同程度に重いので、本問では3次式の判別式を因数分解する方法が最も短い。