名古屋大学 2019年度文系数学第2問解答・解説

問題

非負の整数 $n$ に対して $P_{n}$ を $x y$ 平面上の点とする。 $P_{0}$ の座標を $(1, 0)$ とし， $P_{n}$ の座標 $(x_{n}, y_{n})$ と $P_{n + 1}$ の座標 $(x_{n + 1}, y_{n + 1})$ は

x_{n + 1} = x_{n} - k (y_{n} + y_{n + 1})

y_{n + 1} = y_{n} + k (x_{n} + x_{n + 1})

をみたすとする。ただし $k$ を正の実数とする。

(1) $k = tan (\frac{α}{2})$ とする。ただし $0 < α < π$ とする。このとき $P_{1}$ ， $P_{2}$ の座標 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ を $α$ を用いて表せ。

(2) $P_{n}$ の座標 $(x_{n}, y_{n})$ を(1)の $α$ と $n$ を用いて表せ。

(3) $O$ を $x y$ 平面の原点とするとき，三角形 $P_{n} O P_{n + 1}$ の面積を $k$ を用いて表せ。

出典：名古屋大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

連立漸化式をそのまま実数成分で解くと煩雑なので、 $z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とおいて1本の複素数の漸化式にまとめる。すると $z_{n + 1}$ は $z_{n}$ に一定の複素数 $(1 + k i) / (1 - k i)$ を掛けたものになる。 $k = tan (α /2)$ を使うと、この複素数は偏角 $α$ 、絶対値1の数、つまり原点中心の回転を表す。したがって $P_{n}$ は単位円上を角 $α$ ずつ進む点になる。三角形 $P_{n} O P_{n + 1}$ の面積は、半径1の2辺のなす角 $α$ から求め、最後に半角公式で $k$ に戻す。

解答

(1)

$z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とおく。与えられた2つの式から $x_{n + 1} - x_{n} = - k (y_{n} + y_{n + 1}), y_{n + 1} - y_{n} = k (x_{n} + x_{n + 1})$ である。したがって

z_{n + 1} - z_{n} = (x_{n + 1} - x_{n}) + i (y_{n + 1} - y_{n}) = - k (y_{n} + y_{n + 1}) + ik (x_{n} + x_{n + 1}) = k i (z_{n} + z_{n + 1})

である。よって $(1 - k i) z_{n + 1} = (1 + k i) z_{n}$ すなわち $z_{n + 1} = \frac{1 + k i}{1 - k i} z_{n}$ を得る。

ここで $k = tan \frac{α}{2}$ である。半角公式より $cos α = \frac{1 - k ^{2}}{1 + k ^{2}}, sin α = \frac{2 k}{1 + k ^{2}}$ であり、また

\frac{1 + k i}{1 - k i} = \frac{( 1 + k i ) ^{2}}{1 + k ^{2}} = \frac{1 - k ^{2}}{1 + k ^{2}} + i \frac{2 k}{1 + k ^{2}} = cos α + i sin α

である。 $z_{0} = 1$ だから

z_{1} = cos α + i sin α, z_{2} = (cos α + i sin α)^{2} = cos 2 α + i sin 2 α

である。したがって

P_{1} = (cos α, sin α), P_{2} = (cos 2 α, sin 2 α)

である。

(2)

(1)で得た漸化式から $z_{n + 1} = (cos α + i sin α) z_{n}$ である。 $z_{0} = 1$ なので、帰納的に $z_{n} = (cos α + i sin α)^{n}$ となる。ド・モアブルの公式より $z_{n} = cos n α + i sin n α$ だから $(x_{n}, y_{n}) = (cos n α, sin n α)$ である。

(3)

(2)より $O P_{n} = O P_{n + 1} = 1$ であり、 $O P_{n}$ と $O P_{n + 1}$ のなす角は $α$ である。 $0 < α < π$ なので $sin α > 0$ であり、三角形 $P_{n} O P_{n + 1}$ の面積は $\frac{1}{2} sin α$ である。

半角公式から $sin α = \frac{2 k}{1 + k ^{2}}$ なので、求める面積は $\frac{k}{1 + k ^{2}}$ である。

別解。実数成分だけで見ると、上の漸化式は

(x_{n + 1} y_{n + 1}) = (cos α sin α - sin α cos α) (x_{n} y_{n})

と同じである。つまり各段階で原点を中心に角 $α$ だけ回転しているので、同じ結論が得られる。

名古屋大学 2019年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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文系数学第2問