名古屋大学 2018年度理系数学第3問解答・解説

問題

$p$ を素数， $a$ ， $b$ を整数とする。このとき，次の問に答えよ。

(1) $(a + b)^{p} - a^{p} - b^{p}$ は $p$ で割り切れることを示せ。

(2) $(a + 2)^{p} - a^{p}$ は偶数であることを示せ。

(3) $(a + 2)^{p} - a^{p}$ を $2 p$ で割ったときの余りを求めよ。

出典：名古屋大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)は二項定理で展開し，中間項の係数 $_{p} C_{j}$ が素数 $p$ で割り切れることを示す。(2)は $a + 2$ と $a$ が同じ偶奇であることから，その $p$ 乗の差も偶数になる。(3)では $p = 2$ を先に処理し， $p$ が奇素数のときは(1)を $b = 2$ と $a = b = 1$ に適用して $(a + 2)^{p} - a^{p} \equiv 2 (mod p)$ を得る。さらに(2)の偶数条件と合わせ， $2 p$ で割った余りを一意に決める。

解答

(1)

二項定理より $(a + b)^{p} = \sum_{j = 0}^{p}_{p} C_{j} a^{p - j} b^{j}$ である。したがって $(a + b)^{p} - a^{p} - b^{p} = \sum_{j = 1}^{p - 1}_{p} C_{j} a^{p - j} b^{j}$ である。

ここで $1 ≦ j ≦ p - 1$ とする。 $p$ は素数なので， $_{p} C_{j} = \frac{p !}{j ! ( p - j )!}$ の分子には因子 $p$ が1つ含まれ，分母 $j! (p - j)!$ には因子 $p$ が含まれない。よって $_{p} C_{j}$ は $p$ で割り切れる。したがって和の各項が $p$ で割り切れ， $(a + b)^{p} - a^{p} - b^{p}$ も $p$ で割り切れる。

(2)

$a + 2$ と $a$ は同じ偶奇である。整数 $m$ について， $m^{p}$ は $m$ と同じ偶奇をもつので， $(a + 2)^{p}$ と $a^{p}$ も同じ偶奇である。したがって $(a + 2)^{p} - a^{p}$ は偶数である。

(3)

まず $p = 2$ のとき， $(a + 2)^{2} - a^{2} = 4 a + 4 = 4 (a + 1)$ である。これは $2 p = 4$ で割り切れるので，余りは $0$ である。

次に $p$ を奇素数とする。(1)を $b = 2$ として用いると $(a + 2)^{p} - a^{p} - 2^{p}$ は $p$ で割り切れる。また(1)を $a = b = 1$ として用いると $2^{p} - 2$ は $p$ で割り切れる。したがって $(a + 2)^{p} - a^{p} \equiv 2^{p} \equiv 2 (mod p)$ である。

一方，(2)より $(a + 2)^{p} - a^{p}$ は偶数である。 $2 p$ で割った余りを $r$ とすると， $r$ は $0 ≦ r < 2 p$ を満たす偶数で，さらに $r \equiv 2 (mod p)$ である。 $0 ≦ r < 2 p$ で $p$ で割ると2余る数は $2$ と $p + 2$ であるが， $p$ は奇数なので $p + 2$ は奇数である。よって偶数である余りは $2$ に限られる。

以上より，求める余りは

{02 (p = 2), (p \neq = 2)

である。

名古屋大学 2018年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2018年度
理系数学第3問