名古屋大学 2018年度
理系数学 第2問

解答

(1)

共有点を $(x,y)$ とする。$y={\log }_{a}x$ が定義されるので $x>0$ であり，また $y=a^x>0$ である。共有点であるから $y=a^x,y={\log }_{a}x$ であり，後者は $x=a^y$ と同値である。

もし $x>y$ なら，$a>1$ なので $a^x>a^y$ である。ところが $a^x=y$，$a^y=x$ だから，これは $y>x$ を意味し矛盾する。同様に，もし $x<y$ なら $a^x<a^y$ より $y<x$ となり矛盾する。したがって $x=y$ である。よって共有点は，存在すれば直線 $y=x$ 上にある。

(2)

(1)より，共有点は $y=x$ 上にある。したがって共有点の $x$ 座標は $a^x=x$ を満たす正の解である。逆にこの方程式を満たす正の $x$ に対しては，$(x,x)$ が2つのグラフの共有点になる。

そこで $\varphi (x)=a^x-x$ とおく。すると ${\varphi }^{\prime }(x)=a^x\log a-1,{\varphi }^{\prime \prime }(x)=a^x(\log a{)}^2>0$ である。よって ${\varphi }^{\prime }(x)$ は単調に増加する。

もし $\varphi (x)=0$ が3つ以上の解をもつなら，その間に平均値の定理により ${\varphi }^{\prime }(x)=0$ が少なくとも2つ存在する。しかし ${\varphi }^{\prime }$ は単調に増加するので，これは不可能である。したがって $a^x=x$ の解は2個以下であり，共有点も2個以下である。

(3)

共有点が1個であるとする。これは $\varphi (x)=a^x-x$ が正の範囲で零点を1個だけもつことを意味する。$\varphi (0)=1>0$ であり，$x\to \infty$ では $a^x-x\to \infty$ であるから，零点が1個だけなら，その点は $\varphi$ の最小点であり，接している。したがって $a^x=x,a^x\log a=1$ が同時に成り立つ。

第1式を第2式に代入すると $x\log a=1$ である。また $a^x=x$ の両辺の自然対数をとると $x\log a=\log x$ である。したがって $\log x=1$ となり，$x=e$ である。さらに $x\log a=1$ から $\log a=\frac{1}{e}$ なので $a=e^{1/e}$ である。共有点は $(e,e)$ である。

別解。(2)(3)は，方程式 $a^x=x$ の両辺の対数をとり $\log a=\frac{\log x}{x}$ としてもよい。$h(x)=\frac{\log x}{x}$ とおくと $h^{\prime }(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$ であるから，$h$ は $0<x<e$ で増加し，$x>e$ で減少し，最大値は $h(e)=1/e$ である。水平線 $y=\log a$ との交点は高々2個で，1個だけになるのは $\log a=1/e$ のときである。このとき $x=e$，すなわち共有点は $(e,e)$，$a=e^{1/e}$ である。