名古屋大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対し，定積分 $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{x ^{2} + 1} d x$ を考える。このとき，次の問に答えよ。

(1) $I_{n} + I_{n + 2} = \frac{1}{n + 1}$ を示せ。

(2) $0 ≦ I_{n + 1} ≦ I_{n} ≦ \frac{1}{n + 1}$ を示せ。

(3) $n \to \infty lim n I_{n}$ を求めよ。

(4) $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{2 k}$ とする。このとき(1)，(2)を用いて $n \to \infty lim S_{n}$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は $I_{n} + I_{n + 2}$ の分子を $x^{n} (1 + x^{2})$ とまとめる。(2)は $0 ≦ x ≦ 1$ での $x^{n + 1} ≦ x^{n}$ と分母の正性から単調性と上界を出す。(3)は $I_{n + 2} ≦ I_{n}$ から下界，さらに $I_{n + 2}$ の下界を(1)に代入して上界を作り，はさみうちにする。(4)は $1/ (2 k) = I_{2 k - 1} + I_{2 k + 1}$ と書き，交代和の中で中間項を打ち消して $I_{1}$ だけを残す。

解答

(1)

定義より

I_{n} + I_{n + 2} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2}} d x + \int_{0}^{1} \frac{x ^{n + 2}}{1 + x ^{2}} d x

である。分子をまとめると

I_{n} + I_{n + 2} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} ( 1 + x ^{2} )}{1 + x ^{2}} d x = \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}

となる。

(2)

$0 ≦ x ≦ 1$ では $0 ≦ x^{n + 1} ≦ x^{n}$ であり，また $1 + x^{2} > 0$ である。したがって $0 ≦ \frac{x ^{n + 1}}{1 + x ^{2}} ≦ \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2}}$ であり，積分して $0 ≦ I_{n + 1} ≦ I_{n}$ を得る。さらに $0 ≦ \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2}} ≦ x^{n}$ だから $I_{n} ≦ \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}$ である。よって $0 ≦ I_{n + 1} ≦ I_{n} ≦ \frac{1}{n + 1}$ が示された。

(3)

(2)より $I_{n + 2} ≦ I_{n}$ である。これと(1)から $2 I_{n} ≧ I_{n} + I_{n + 2} = \frac{1}{n + 1}$ なので $I_{n} ≧ \frac{1}{2 ( n + 1 )}$ である。

また，同じ下界を $n + 2$ に適用すると $I_{n + 2} ≧ \frac{1}{2 ( n + 3 )}$ である。したがって(1)より $I_{n} = \frac{1}{n + 1} - I_{n + 2} ≦ \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{2 ( n + 3 )}$ である。以上より $\frac{n}{2 ( n + 1 )} ≦ n I_{n} ≦ \frac{n}{n + 1} - \frac{n}{2 ( n + 3 )}$ である。左端も右端も $n \to \infty$ で $1/2$ に収束するから，はさみうちにより $lim_{n \to \infty} n I_{n} = \frac{1}{2}$ である。

(4)

(1)で $n = 2 k - 1$ とすると $I_{2 k - 1} + I_{2 k + 1} = \frac{1}{2 k}$ である。よって $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} (I_{2 k - 1} + I_{2 k + 1})$ である。これを並べると $S_{n} = (I_{1} + I_{3}) - (I_{3} + I_{5}) + (I_{5} + I_{7}) - \dots + (- 1)^{n - 1} (I_{2 n - 1} + I_{2 n + 1})$ となり，中間の項はすべて打ち消し合う。したがって $S_{n} = I_{1} + (- 1)^{n - 1} I_{2 n + 1}$ である。

(2)より $0 ≦ I_{2 n + 1} ≦ \frac{1}{2 n + 2}$ なので $I_{2 n + 1} \to 0$ である。ゆえに $lim_{n \to \infty} S_{n} = I_{1}$ である。最後に

I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} [lo g (1 + x^{2})]_{0}^{1} = \frac{1}{2} lo g 2

だから $lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{1}{2} lo g 2$ である。

名古屋大学 2018年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2018年度
理系数学第1問