名古屋大学 2017年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$M$の要素を1つ$z$とる。条件(II)より$1/z$も$M$の要素である。条件(III)より，これらの積 $z\cdot \frac{1}{z}=1$ は$M$の要素である。さらに条件(II)を$z=1$に適用すると $-1$ も$M$の要素である。

(2)

条件(II)より，$M$の任意の要素$z$に対して$-z$も$M$の要素である。しかも$z=-z$なら$z=0$であるが，$M$の要素は0でないので，$z$と$-z$は必ず異なる。

したがって$M$の要素は $\{z,-z\}$ という2個ずつの組に分けられる。よって要素数$n$は偶数である。

(3)

$n=4$とする。(1)より$1,-1\in M$である。残りの要素の1つを$z$とすると，(2)より$-z$も要素であり，$M=\{1,-1,z,-z\}$ と書ける。

条件(II)より$1/z\in M$である。$z\ne \pm 1$なので，$1/z$は$z$または$-z$のどちらかである。もし$1/z=z$なら $z^2=1$ より$z=\pm 1$となり矛盾する。したがって $\frac{1}{z}=-z$ であり，$z^2=-1$ を得る。よって$z=\pm i$であり，集合としては一通りに $M=\{1,-1,i,-i\}$ と定まる。

(4)

$n=6$とする。$1,-1$以外の要素を1つ取り，それを$z$とする。条件(III)より $z,z^2,z^3,\dots$ はすべて$M$の要素である。$M$は有限集合なので，この列には同じ値が現れる。したがって，ある正の整数$m$について $z^m=1$ となる。以下，そのような$m$のうち最小のものを考える。$z\ne \pm 1$より$m>2$であり，また$1,z,z^2,\dots ,z^{m-1}$は互いに異なるので$m\leqq 6$である。したがって $m=3,4,5,6$ のいずれかである。 $m=4$は不可能である。このとき$z^2=-1$であり，$1,-1,z,-z$の4要素がすでにある。残りの要素の1つを$w$とすると，$-w$も要素であり，$M=\{1,-1,z,-z,w,-w\}$ である。ところが$zw\in M$である。$zw=\pm 1$なら$w=\pm 1/z=\pm z$，$zw=\pm z$なら$w=\pm 1$，$zw=\pm w$なら$z=\pm 1$となり，いずれも$w$の取り方または$z\ne \pm 1$に反する。よって矛盾する。 $m=5$も不可能である。$1,z,z^2,z^3,z^4$は5個の異なる要素であり，さらに$-1$も$M$に入る。これだけで6個である。しかし$-z$も$M$に入る。もし$-z$が$1,z,z^2,z^3,z^4$のいずれかなら，$-1$が$z$のべきで表されることになり，その両辺を2乗すると$z$の5より小さい正のべきが1になる矛盾が生じる。したがって$-z$は新しい要素で，6個を超えてしまう。

よって$m=3$または$m=6$である。 $m=3$のとき，$1,z,z^2$が3個の異なる要素であり，さらにそれらの負の数 $-1,-z,-z^2$ も$M$に入る。これで6個あり，$M$は $\{1,z,z^2,-1,-z,-z^2\}$ である。ここで$z$は1でない3乗根だから，これらは6乗して1になる複素数全体である。 $m=6$のとき，$1,z,z^2,z^3,z^4,z^5$が6個の異なる要素なので，$M$はこの6個である。また$(z^3{)}^2=1$で，$z^3\ne 1$だから$z^3=-1$である。したがって，この場合も$M$は6乗して1になる複素数全体である。

以上より，$n=6$のとき$M$は一通りに定まり，その要素は

である。