名古屋大学 2017年度
理系数学 第1問

解答

(1)

曲線$C$は $y=a-1-\log x$ であり，導関数は $y^{\prime }=-\frac{1}{x}$ である。点$P(s,a-1-\log s)$における接線は $y-(a-1-\log s)=-\frac{1}{s}(x-s)$ すなわち $y=a-\log s-\frac{x}{s}$ である。 $x$軸との交点では$y=0$だから $0=a-\log s-\frac{x}{s}$ より $u(s)=s(a-\log s)$ である。また$y$軸との交点では$x=0$だから $v(s)=a-\log s$ である。

(2)

まず $v(s)=a-\log s$ について，$v^{\prime }(s)=-\frac{1}{s}<0,v^{\prime \prime }(s)=\frac{1}{s^2}>0$ である。したがって$v(s)$は単調減少で下に凸であり，$s=e^a$で$v=0$となる。

次に $u(s)=s(a-\log s)$ について，$u^{\prime }(s)=a-\log s-1,u^{\prime \prime }(s)=-\frac{1}{s}<0$ である。したがって$u(s)$は上に凸で，$u^{\prime }(s)=0$となる $s=e^{a-1}$ で最大値 $u(e^{a-1})=e^{a-1}$ をとる。また$u(s)=0$となるのは$s=e^a$である。

2つのグラフの交点は $s(a-\log s)=a-\log s$ より $(s-1)(a-\log s)=0$ である。したがって $(s,t)=(1,a),(e^a,0)$ で交わる。なお$0<a<1$より $e^{a-1}<1<e^a$ である。以上の増減，凹凸，交点を同じ$st$平面上に示せばよい。

(3)

$1\leqq s\leqq e^a$では$a-\log s\geqq 0$かつ$s\geqq 1$なので $u(s)-v(s)=(s-1)(a-\log s)\geqq 0$ である。したがってこの範囲で上側が$u(s)$，下側が$v(s)$である。 $t$軸のまわりに回転するので，円筒殻を用いる。半径は$s$，高さは$u(s)-v(s)$であるから，体積$V$は

である。

積分を $\int s(s-1)(a-\log s)ds=\int (s^2-s)(a-\log s)ds$ として計算する。部分積分により

である。したがって

である。これを$1$から$e^a$まで代入して整理すると ${\int }_1^{e^a}s(s-1)(a-\log s)ds=\frac{4e^{3a}-9e^{2a}+6a+5}{36}$ である。よって $V=\frac{\pi }{18}\{4e^{3a}-9e^{2a}+6a+5\}$ である。