問題
下図のような立方体を考える。この立方体の8つの頂点の上を点Pが次の規則で移動する。時刻0では点Pは頂点Aにいる。時刻が1増えるごとに点Pは，今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する。例えば時刻で点Pが頂点Hにいるとすると，時刻では，それぞれの確率で頂点D，E，Gのいずれかにいる。自然数に対して，(i)点Pが時刻までの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻で頂点B，D，Eのいずれかにいる確率を，(ii)点Pが時刻までの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻で頂点C，F，Hのいずれかにいる確率を，(iii)点Pが時刻までの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻で頂点Gにいる確率を，とする。このとき，次の問に答えよ。
(1) ，，と，，を求めよ。
(2) のとき，，，を求めよ。
(3) 自然数に対して，点Pが時刻で頂点Aに初めて戻る確率を求めよ。
(4) 自然数に対して，点Pが時刻で頂点Aに戻るのがちょうど2回目となる確率をとする。このとき，となるをすべて求めよ。
% 図は省略
方針
(1)から(3)までは文系第2問と同じく，頂点をからの距離1，距離2，距離3の3状態にまとめ，へ戻らない確率の漸化式を立てる。偶奇で状態が分かれるためから一般項を得る。(4)では，2回目の帰還が時刻で起こる事象を，初帰還時刻と，その後の初帰還時刻に分解する。したがってはの畳み込みになり，を個別に処理したあと，で不等式を比較する。
解答
(1)
頂点から辺の本数で距離1の頂点の群を，距離2の頂点の群を，距離3の頂点の群をと呼ぶ。
時刻1では必ずにいるので である。の各頂点からは，1本がへ，2本がへ向かう。へ戻る場合はには含めないので である。 の各頂点からは2本がへ，1本がへ向かうから である。
(2)
へ戻らない道だけを追うと，遷移は
である。したがって
である。 より，について である。偶数時刻にはにはいないので である。
また
であり，である。よって
を得る。
(3)
時刻で初めてに戻るには，時刻までに戻らず，その時刻ににいて，次の1歩でへ進めばよい。からへ進む確率はである。
したがって であり，では である。
(4)
時刻でに戻るのがちょうど2回目であるためには，ある について，時刻に初めてに戻り，そこからさらに後に初めてに戻ればよい。に戻った後は同じ条件で再出発するので である。
まず であり， だからである。また であり， だからである。
次にとする。と，で を用いると，端の2項と中央の項に分けて である。よって
となり，整理して である。一方
である。したがっては すなわち と同値である。これは を意味するので，では成り立たない。
以上より，求めるは である。