問題
次の問に答えよ。
(1) 次の条件(＊)を満たす3つの自然数の組をすべて求めよ。
(＊) かつである。
(2) 偶数 の3つの正の約数，，で，とを満たす組の個数をとする。ただし，条件を満たす組が存在しない場合は，とする。が自然数全体を動くときのの最大値を求めよ。また，となる自然数の中で最小のものを求めよ。
方針
(1)はからの範囲をに絞り，各でを積の形に変形して有限個を列挙する。(2)は条件を満たす約数から，，を作ると(1)の組になることを使う。逆に(1)の組がをすべて割り切れば約数組が得られるので，各組に対応するの割り切り条件を列挙し，6組すべてを同時に実現する最小のを最小公倍数で求める。
解答
(1)
であるから である。左辺はなので よりである。またでなければならないのでである。したがって を調べればよい。 のとき である。両辺にをかけて整理すると すなわち である。より，36の約数の小さい方だけを見ればよく， を得る。 のとき であるから である。より を得る。 のとき である。これをについて解くと である。さらになら よりである。なのでしかないが，このときで整数ではない。したがってからは解は出ない。
以上より，条件を満たす組は である。
(2)
条件を満たすがあるとする。そこで とおく。はの正の約数なので，は自然数である。またより である。さらに
である。したがっては(1)で求めた6組のいずれかである。
逆に，(1)の組について，がすべての約数であれば はの正の約数であり，からとなる。また である。よって，求める組は(1)の6組と対応している。
各組について，がすべてを割り切る条件を調べる。必要十分条件は
である。たとえばでは，すなわちが必要十分である。他も同様に，を整理したものである。
(1)の組は6個しかないので，の最大値は高々6である。上の6条件をすべて満たすを取れば6個すべてが実現するので，最大値は である。そのようなのうち最小のものは である。