名古屋大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

下図のような立方体を考える。この立方体の8つの頂点の上を点Pが次の規則で移動する。時刻0では点Pは頂点Aにいる。時刻が1増えるごとに点Pは，今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する。例えば時刻 $n$ で点Pが頂点Hにいるとすると，時刻 $n + 1$ では，それぞれ $\frac{1}{3}$ の確率で頂点D，E，Gのいずれかにいる。自然数 $n ≧ 1$ に対して，(i)点Pが時刻 $n$ までの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻 $n$ で頂点B，D，Eのいずれかにいる確率を $p_{n}$ ，(ii)点Pが時刻 $n$ までの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻 $n$ で頂点C，F，Hのいずれかにいる確率を $q_{n}$ ，(iii)点Pが時刻 $n$ までの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻 $n$ で頂点Gにいる確率を $r_{n}$ ，とする。このとき，次の問に答えよ。

(1) $p_{2}$ ， $q_{2}$ ， $r_{2}$ と $p_{3}$ ， $q_{3}$ ， $r_{3}$ を求めよ。

(2) $n ≧ 2$ のとき， $p_{n}$ ， $q_{n}$ ， $r_{n}$ を求めよ。

(3) 自然数 $m ≧ 1$ に対して，点Pが時刻 $2 m$ で頂点Aに初めて戻る確率 $s_{m}$ を求めよ。

% 図は省略

出典：名古屋大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

立方体の頂点を，頂点 $A$ から辺何本で到達できるかによって3つの群に分ける。距離1の群を $P$ ，距離2の群を $Q$ ，対頂点 $G$ を $R$ とすると， $A$ へ戻らない条件を保ったまま3状態の漸化式が立つ。偶数時刻では $Q$ だけ，奇数時刻では $P, R$ だけが現れるため， $q_{n + 2} = \frac{7}{9} q_{n}$ に落として一般項を求める。初帰還確率は，直前に距離1の群にいて次に $A$ へ進む確率として表す。

解答

頂点 $A$ から辺の本数で距離1の頂点 $B, D, E$ の群を $P$ ，距離2の頂点 $C, F, H$ の群を $Q$ ，距離3の頂点 $G$ の群を $R$ と呼ぶ。問題の $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ は，時刻 $n$ まで $A$ に戻っていないという条件を含んだまま，それぞれの群にいる確率である。

(1)

時刻1では必ず $P$ のどれかにいるので $p_{1} = 1, q_{1} = 0, r_{1} = 0$ である。 $P$ の頂点からは，1本が $A$ へ戻る辺，残り2本が $Q$ へ進む辺である。したがって $p_{2} = 0, q_{2} = \frac{2}{3}, r_{2} = 0$ である。

次に， $Q$ の頂点からは2本が $P$ へ，1本が $R$ へ向かう。よって $p_{3} = \frac{2}{3} q_{2} = \frac{4}{9}, q_{3} = 0, r_{3} = \frac{1}{3} q_{2} = \frac{2}{9}$ である。

(2)

$n ≧ 1$ で， $A$ へ戻らない道だけを数えると，遷移は

p_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n}, q_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + r_{n}, r_{n + 1} = \frac{1}{3} q_{n}

である。第2式に第1式と第3式を2時刻分ずらして用いると

q_{n + 2} = \frac{2}{3} p_{n + 1} + r_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} q_{n} + \frac{1}{3} q_{n} = \frac{7}{9} q_{n}

を得る。 $q_{2} = 2/3$ であるから， $m ≧ 1$ について $q_{2 m} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1}$ である。また偶数時刻には $P, R$ にはいないので $p_{2 m} = 0, r_{2 m} = 0$ である。

一方，奇数時刻については $p_{2 m + 1} = \frac{2}{3} q_{2 m} = \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}$ および $r_{2 m + 1} = \frac{1}{3} q_{2 m} = \frac{2}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}$ であり， $q_{2 m + 1} = 0$ である。したがって

p_{2 m} = 0, q_{2 m} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1}, r_{2 m} = 0

p_{2 m + 1} = \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}, q_{2 m + 1} = 0, r_{2 m + 1} = \frac{2}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}

である。

(3)

時刻 $2 m$ で初めて $A$ に戻るには，時刻 $2 m - 1$ まで $A$ に戻らず，時刻 $2 m - 1$ に距離1の群 $P$ にいて，次の1歩で $A$ へ進めばよい。 $P$ の各頂点から $A$ へ進む確率は $1/3$ である。 $m = 1$ のときは，時刻1で必ず $P$ にいるから $s_{1} = \frac{1}{3}$ である。 $m ≧ 2$ のときは(2)より

s_{m} = \frac{1}{3} p_{2 m - 1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 2} = \frac{4}{27} (\frac{7}{9})^{m - 2}

である。

名古屋大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2017年度
文系数学第2問