問題
を正の定数とする。2次関数と3次関数について，次の問に答えよ。
(1) 関数について，極値を求め，そのグラフを描け。
(2) 2つの曲線とは相異なる3点で交わることを示せ。
(3) 2つの曲線とで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるようにの値を定めよ。またそのとき，2つの曲線の交点の座標を求めよ。
出典：名古屋大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まずの導関数から増減と極値を整理する。交点はを解き，と2次方程式の2根で表す。2つの囲まれた部分はとに分かれ，面積が等しい条件は符号付き面積と同値になる。を使って積分をだけで表し，最後にへ戻す。
解答
(1)
であるから である。したがって増減は
となる。よってで極大，で極小であり，
である。グラフはで軸を横切り，で軸に接する3次曲線である。
(2)
2つの曲線の交点の座標は を満たす。整理すると であるから，まずが1つの解である。残りは の解である。この2次方程式の判別式は であり，より正である。さらに2根の和は，積はなので，2根はいずれも正で，互いに異なる。
したがって，と，この2次方程式の2つの正の解に対応する合計3つの相異なる点で交わる。
(3)
2次方程式の2根を とおく。このとき である。また である。 では，ではである。したがって2つの部分の面積が等しい条件は であり，これは と同値である。
ここでよりである。積分を計算すると
であり，を代入して となる。だから，面積が等しい条件は すなわち である。したがって である。
最後に を得る。この値は正である。よって求めるは であり，そのときの交点の座標は である。