名古屋大学 2016年度理系数学第3問解答・解説

問題

玉が2個ずつ入った2つの袋A，Bがあるとき，袋Bから玉を1個取り出して袋Aに入れ，次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れる，という操作を1回の操作と数えることにする。Aに赤玉が2個，Bに白玉が2個入った状態から始め，この操作を $n$ 回繰り返した後に袋Bに入っている赤玉の個数が $k$ 個である確率を $P_{n} (k)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ とする。このとき，次の問に答えよ。

(1) $k = 0, 1, 2$ に対する $P_{1} (k)$ を求めよ。

(2) $k = 0, 1, 2$ に対する $P_{n} (k)$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

袋Bに入っている赤玉の個数 $k = 0, 1, 2$ を状態として，1回の操作による遷移確率を作る。現在の状態が $k$ なら，最初にBから赤を出すか白を出すか，次にAから赤を戻すか白を戻すかで $k - 1, k, k + 1$ への確率が求まる。遷移表を見ると，次に状態1になる確率は現在の状態によらず $2/3$ であり，さらに $P_{n} (0) - P_{n} (2)$ だけが比 $1/3$ で変化する。和と差から $P_{n} (0), P_{n} (2)$ を決める。

解答

(1)

初めは袋Aに赤玉2個，袋Bに白玉2個が入っている。1回目の操作では，まず袋Bから白玉を1個取り出して袋Aに入れるしかない。この時点で袋Aには赤玉2個，白玉1個が入っている。

次に袋Aから袋Bへ移す玉が赤玉である確率は $2/3$ ，白玉である確率は $1/3$ である。赤玉を移せば袋Bの赤玉は1個，白玉を移せば袋Bの赤玉は0個である。したがって $P_{1} (0) = \frac{1}{3}, P_{1} (1) = \frac{2}{3}, P_{1} (2) = 0$ である。

(2)

袋Bに赤玉が $k$ 個入っている状態を考える。このとき袋Bには赤玉 $k$ 個，白玉 $2 - k$ 個があり，袋Aには赤玉 $2 - k$ 個，白玉 $k$ 個がある。

まず袋Bから赤玉を取り出す確率は $k /2$ である。この場合，袋Bの赤玉は一時的に $k - 1$ 個となり，袋Aには赤玉 $3 - k$ 個，白玉 $k$ 個が入る。続いて袋Aから白玉を戻せば袋Bの赤玉は $k - 1$ 個，赤玉を戻せば $k$ 個になる。したがって赤玉を先に取り出した場合の寄与は

k - 1 へ \frac{k}{2} \cdot \frac{k}{3} = \frac{k ^{2}}{6}, k へ \frac{k}{2} \cdot \frac{3 - k}{3}

である。

一方，袋Bから白玉を取り出す確率は $(2 - k) /2$ である。この場合，袋Aには赤玉 $2 - k$ 個，白玉 $k + 1$ 個が入る。続いて赤玉を戻せば袋Bの赤玉は $k + 1$ 個，白玉を戻せば $k$ 個になる。よって白玉を先に取り出した場合の寄与は

k + 1 へ \frac{2 - k}{2} \cdot \frac{2 - k}{3} = \frac{( 2 - k ) ^{2}}{6}, k へ \frac{2 - k}{2} \cdot \frac{k + 1}{3}

である。

以上より，状態 $k$ から $k - 1, k, k + 1$ へ移る確率はそれぞれ

\frac{k ^{2}}{6}, \frac{k ( 3 - k ) + ( 2 - k ) ( k + 1 )}{6} = \frac{- k ^{2} + 2 k + 1}{3}, \frac{( 2 - k ) ^{2}}{6}

である。これを $k = 0, 1, 2$ について表にすると

012 0 \frac{1}{3} \frac{1}{6} 0 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} 20 \frac{1}{6} \frac{1}{3}

となる。行は現在の状態，列は次の状態を表す。

この表から，どの状態から出発しても次に状態1になる確率は $2/3$ である。したがって $n ≧ 1$ について $P_{n} (1) = \frac{2}{3}$ である。

次に状態0と状態2の差を見る。遷移表より

P_{n + 1} (0) P_{n + 1} (2) = \frac{1}{3} P_{n} (0) + \frac{1}{6} P_{n} (1), = \frac{1}{6} P_{n} (1) + \frac{1}{3} P_{n} (2)

であるから，差をとると $P_{n + 1} (0) - P_{n + 1} (2) = \frac{1}{3} {P_{n} (0) - P_{n} (2)}$ となる。(1)より $P_{1} (0) - P_{1} (2) = \frac{1}{3}$ なので， $P_{n} (0) - P_{n} (2) = (\frac{1}{3})^{n}$ である。

また確率の総和は1で， $P_{n} (1) = 2/3$ だから $P_{n} (0) + P_{n} (2) = \frac{1}{3}$ である。和と差を用いて

P_{n} (0) = \frac{1}{2} {\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{n}}, P_{n} (2) = \frac{1}{2} {\frac{1}{3} - (\frac{1}{3})^{n}}

を得る。

したがって

P_{n} (0) = \frac{1}{2} {\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{n}}, P_{n} (1) = \frac{2}{3}, P_{n} (2) = \frac{1}{2} {\frac{1}{3} - (\frac{1}{3})^{n}}

である。

名古屋大学 2016年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2016年度
理系数学第3問