名古屋大学 2016年度
理系数学 第1問

解答

点$T(t,t^2)$において$\angle ATB$が直角である条件は $\overrightarrow{TA}\cdot \overrightarrow{TB}=0$ である。ここで

だから，

である。

条件$-2<t<b$のもとでは，$t+2>0$，$t-b<0$であり，この2つは0にならない。したがって $q(t)=t^2+(b-2)t+1-2b$ が$(-2,b)$に実数解をもつ条件を求めればよい。

まず判別式は $D=(b-2{)}^2-4(1-2b)=b(b+4)$ である。$b>-2$のもとで$-2<b<0$なら$D<0$となり，根は存在しない。よって必要条件として$b\geqq 0$を得る。

次に$0\leqq b\leqq 1-\frac{\sqrt{2}}{2}$のときを調べる。この範囲では $q(b)=2b^2-4b+1\geqq 0$ である。また$-2<t<b$では $q^{\prime }(t)=2t+b-2<2b+b-2=3b-2<0$ が成り立つ。したがって$q(t)$は$(-2,b)$で減少しており，$t<b$なら $q(t)>q(b)\geqq 0$ である。よってこの範囲では根は存在しない。境界$b=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$では根が$t=b$に来るだけなので，開区間条件を満たさない。

最後に $b>1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ なら，実際に根が存在することを示す。$\alpha =1-\frac{\sqrt{2}}{2}$とおく。 $\alpha <b<\frac{1}{2}$のときは $q(0)=1-2b>0,q(b)=2b^2-4b+1<0$ であるから，$0<t<b$に根がある。 $\frac{1}{2}\leqq b<\frac{9}{4}$のときは $q(-2)=9-4b>0,q(0)=1-2b\leqq 0$ であるから，$-2<t\leqq 0$に根がある。$q(0)=0$となる$b=1/2$でも，$t=0$は$(-2,b)$に含まれる。 $b\geqq \frac{9}{4}$のときは $q(0)=1-2b<0,q(b)=2b^2-4b+1>0$ であるから，$0<t<b$に根がある。

以上より，求める$b$の範囲は $\boxed{b>1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ である。

別解。 $\angle ATB$が直角である点$T$は，線分$AB$を直径とする円上にある。放物線との交点を調べると，端点$A,B$に対応する$t=-2,b$のほかに，$t^2+(b-2)t+1-2b=0$ を満たす交点が現れる。したがって問題は，この追加交点の$t$座標が$-2<t<b$に入るかどうかに帰着する。追加交点が右端$t=b$に一致する境界は $q(b)=2b^2-4b+1=0$ であり，$b>-2$で最初に区間へ入る値は$b=1-\sqrt{2}/2$である。端点は許されないため，結論は$b>1-\sqrt{2}/2$となる。