名古屋大学 2016年度理系数学第2問解答・解説

問題

2つの円 $C : (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ と $D : (x + 2)^{2} + y^{2} = 7^{2}$ を考える。また原点を $O (0, 0)$ とする。このとき，次の問に答えよ。

(1) 円 $C$ 上に， $y$ 座標が正であるような点 $P$ をとり， $x$ 軸の正の部分と線分 $O P$ のなす角を $θ$ とする。このとき，点 $P$ の座標と線分 $O P$ の長さを $θ$ を用いて表せ。

(2) (1)でとった点 $P$ を固定したまま，点 $Q$ が円 $D$ 上を動くとき， $△ O P Q$ の面積が最大になるときの $Q$ の座標を $θ$ を用いて表せ。

(3) 点 $P$ が円 $C$ 上を動き，点 $Q$ が円 $D$ 上を動くとき， $△ O P Q$ の面積の最大値を求めよ。

ただし(2)，(3)においては，3点 $O$ ， $P$ ， $Q$ が同一直線上にあるときは， $△ O P Q$ の面積は0であるとする。

出典：名古屋大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は原点から角 $θ$ の半直線上に $P = (r cos θ, r sin θ)$ とおき，円 $C$ へ代入する。(2)は $P$ を固定し，三角形の面積を「底辺 $O P$ ×直線 $O P$ から $Q$ までの距離」の半分として考える。円 $D$ 上でこの距離が最大になる点は，中心から直線 $O P$ に垂直な方向へ半径分進んだ点である。(3)は $x = sin θ$ とおき， $1 - x^{2} (7 + 2 x)$ を $0 < x < 1$ で最大化する。

解答

(1)

点 $P$ は原点から見て角 $θ$ の方向にあるので， $P = (r cos θ, r sin θ)$ とおける。 $P$ は円 $C : (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 上にあるから， $(r cos θ - 1)^{2} + (r sin θ)^{2} = 1$ である。整理すると $r^{2} - 2 r cos θ = 0$ となる。 $P \neq = O$ であり，また $y$ 座標が正なので $0 < θ < π /2$ ， $r > 0$ である。したがって $r = 2 cos θ$ であり， $P = (2 cos^{2} θ, 2 sin θ cos θ), O P = 2 cos θ$ である。

(2)

$P$ を固定する。直線 $O P$ の方向の単位ベクトルは $(cos θ, sin θ)$ であり，これに垂直な単位ベクトルの一つは $n = (- sin θ, cos θ)$ である。点 $Q$ から直線 $O P$ までの距離は， $Q$ の $n$ 方向成分の絶対値で決まる。

円 $D$ の中心を $M = (- 2, 0)$ とすると， $M \cdot n = 2 sin θ$ である。円 $D$ の半径は7だから， $n$ 方向の成分を最大にする点は $Q = M + 7 n$ である。このとき，反対向きに進むと距離は $∣2 sin θ - 7∣ = 7 - 2 sin θ$ であり， $7 + 2 sin θ$ より小さい。したがって面積を最大にする点は $Q = (- 2, 0) + 7 (- sin θ, cos θ) = (- 2 - 7 sin θ, 7 cos θ)$ である。

(3)

(2)での最大距離は $7 + 2 sin θ$ である。したがって， $P$ を固定したときの最大面積は

\frac{1}{2} \cdot O P \cdot (7 + 2 sin θ) = \frac{1}{2} \cdot 2 cos θ (7 + 2 sin θ) = cos θ (7 + 2 sin θ)

である。

ここで $x = sin θ$ とおくと， $0 < x < 1$ ， $cos θ = 1 - x^{2}$ であるから， $F (x) = 1 - x^{2} (7 + 2 x)$ を最大にすればよい。 $F (x) > 0$ なので，微分して $F^{'} (x) = \frac{- x}{1 - x ^{2}} (7 + 2 x) + 2 1 - x^{2}$ である。 $F^{'} (x) = 0$ は $2 (1 - x^{2}) = x (7 + 2 x)$ すなわち $4 x^{2} + 7 x - 2 = 0$ に等しい。これを解くと $x = \frac{1}{4}, x = - 2$ であり， $0 < x < 1$ を満たすのは $x = 1/4$ だけである。

また， $x \to 0 +$ では $F (x) \to 7$ ， $x \to 1 -$ では $F (x) \to 0$ であり， $x = 1/4$ で増加から減少に変わるので，ここで最大となる。よって最大値は

F (\frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{16} (7 + \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} \cdot \frac{15}{2} = \frac{15 15}{8}

である。

別解。(2)は行列式で見てもよい。円 $D$ 上の点を $Q = (- 2 + 7 cos φ, 7 sin φ)$ とおくと，三角形の面積は $\frac{1}{2} ∣ det (P, Q) ∣$ である。 $P = 2 cos θ (cos θ, sin θ)$ を用いると， $det (P, Q)$ は $cos φ, sin φ$ の一次式になる。絶対値を最大にするには，半径方向を直線 $O P$ に垂直な向きに取ればよく，結局 $Q = (- 2 - 7 sin θ, 7 cos θ)$ が得られる。これは距離を用いた解法と同じ最大点を与える。

名古屋大学 2016年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2016年度
理系数学第2問