名古屋大学 2016年度文系数学第3問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対して，その（1と自分自身も含めた）すべての正の約数の和を $s (n)$ と書くことにする。このとき，次の問に答えよ。

(1) $k$ を正の整数， $p$ を3以上の素数とするとき， $s (2^{k} p)$ を求めよ。

(2) $s (2016)$ を求めよ。

(3) 2016の正の約数 $n$ で， $s (n) = 2016$ となるものをすべて求めよ。

出典：名古屋大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

約数和は素因数ごとに分けて積で表す。(1)で $2^{k}$ の部分と素数 $p$ の部分を分離し，(2)では $2016 = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7$ を用いる。(3)は $n = 2^{a} 3^{b} 7^{c}$ とおき， $s (n)$ の各因子が $2016 = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7$ を割るかどうかで絞る。特に $b = 2$ では因子13が出て不可能であり，2の指数が5になるには $b = 1, c = 1$ が必要である。

解答

(1)

$2^{k} p$ の正の約数は， $2^{i}$ または $2^{i} p$ $(0 ≦ i ≦ k)$ の形である。したがって約数の和は

s (2^{k} p) = (1 + 2 + \dots + 2^{k}) + (p + 2 p + \dots + 2^{k} p) = (1 + 2 + \dots + 2^{k}) (1 + p) = (2^{k + 1} - 1) (p + 1)

である。

(2)

まず $2016 = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7$ である。約数和は素因数ごとに積で表せるので，

s (2016) = (1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{5}) (1 + 3 + 3^{2}) (1 + 7) = (2^{6} - 1) \cdot 13 \cdot 8 = 63 \cdot 13 \cdot 8 = 6552

である。

(3)

$n$ は2016の正の約数であるから， $n = 2^{a} 3^{b} 7^{c}$ とおける。ただし $0 ≦ a ≦ 5, 0 ≦ b ≦ 2, 0 ≦ c ≦ 1$ である。このとき $s (n) = (2^{a + 1} - 1) (1 + 3 + \dots + 3^{b}) (1 + 7 + \dots + 7^{c})$ である。

もし $b = 2$ なら， $1 + 3 + 9 = 13$ が $s (n)$ の因子になる。しかし $2016 = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7$ は13で割り切れないので， $b = 2$ は不可能である。したがって $b = 0$ または $b = 1$ である。

次に2の指数を見る。因子 $2^{a + 1} - 1$ は奇数である。また， $b = 0$ なら $3$ に関する因子は1， $b = 1$ なら $1 + 3 = 4 = 2^{2}$ である。さらに $c = 0$ なら7に関する因子は1， $c = 1$ なら $1 + 7 = 8 = 2^{3}$ である。右辺 $2016$ に含まれる2の指数は5だから，これを作るには $b = 1, c = 1$ でなければならない。

このとき $s (n) = (2^{a + 1} - 1) \cdot 4 \cdot 8 = 32 (2^{a + 1} - 1)$ である。 $s (n) = 2016$ より $2^{a + 1} - 1 = \frac{2016}{32} = 63$ となる。よって $2^{a + 1} = 64 = 2^{6}$ であり， $a = 5$ である。

したがって求める約数は $n = 2^{5} \cdot 3 \cdot 7 = 672$ のみである。実際， $s (672) = (1 + 2 + \dots + 2^{5}) (1 + 3) (1 + 7) = 63 \cdot 4 \cdot 8 = 2016$ となり，条件を満たす。

名古屋大学 2016年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2016年度
文系数学第3問