問題
曲線上に2点，をとる。ただしとする。このとき，次の条件を満たすの範囲を求めよ。
条件：上の点 で，が直角になるものが存在する。
出典：名古屋大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
点で直角になる条件を，に直す。内積を因数分解すると，端点に対応する因子，が現れるので，開区間では残りの2次式だけを調べればよい。実数解の有無でまずを得て，そのとき実際に区間内の解が存在することを，との符号で確認する。端点は許されないため，端点由来の因子を解として数えないことが要点である。
解答
点においてが直角であることは と同値である。ここで
であるから，
と因数分解できる。
条件ではであるから，，であり，この2つの因子は0にならない。したがって求める条件は，2次方程式 が開区間に解をもつことに等しい。
まず実数解をもつための条件を調べる。判別式は である。仮定のもとではなので，実数解をもつには が必要である。
逆になら，実際に区間内の解が存在する。のとき であり，はを満たす。のときは である。だから，連続性よりにを満たす解が少なくとも1つ存在する。これは条件を満たす。
以上より，求めるの範囲は である。
別解。 が直角である点は，線分を直径とする円上にある。したがって，放物線とこの円の交点のうち，端点以外の点がに存在するかを調べてもよい。この円の条件を と書けば，上と同じ因数分解 が得られる。端点に対応するを除くと，残る2次式の根が条件を満たすかどうかの問題になり，結論は同じくである。