名古屋大学 2016年度文系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とし， $k$ を $1 ≦ k ≦ n + 2$ を満たす整数とする。 $n + 2$ 枚のカードがあり，そのうちの1枚には数字0が，他の1枚には数字2が，残りの $n$ 枚には数字1が書かれている。この $n + 2$ 枚のカードのうちから無作為に $k$ 枚のカードを取り出すとする。このとき，次の問に答えよ。

(1) 取り出した $k$ 枚のカードに書かれているすべての数字の積が1以上になる確率を求めよ。

(2) 取り出した $k$ 枚のカードに書かれているすべての数字の積が2となる確率 $Q_{n} (k)$ を求めよ。

(3) 与えられた $n$ に対して，確率 $Q_{n} (k)$ が最大となる $k$ の値と，その最大値を求めよ。

出典：名古屋大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

積が1以上になる条件は「0のカードを取らない」こと，積が2になる条件は「2を取り，0を取らず，残りは1を取る」ことである。組合せで確率を出したあと， $Q_{n} (k)$ は $k (n + 2 - k)$ に比例する形へ整理する。最後は $1 ≦ k ≦ n + 2$ の整数範囲で，和が $n + 2$ になる2数の積 $k (n + 2 - k)$ を最大化し， $n + 2$ の偶奇，すなわち $n$ の偶奇で場合分けする。

解答

(1)

取り出したカードの積が1以上になるには，数字0のカードを取り出してはいけない。0を含まなければ，取り出したカードは1または2だけなので積は必ず1以上である。

全事象は $n + 2$ 枚から $k$ 枚を選ぶ場合で，その総数は $_{n + 2} C_{k}$ である。0のカードを除いた $n + 1$ 枚から $k$ 枚を選ぶ場合は $_{n + 1} C_{k}$ 通りだから，求める確率は

\frac{_{n + 1} C _{k}}{_{n + 2} C _{k}} = \frac{n + 2 - k}{n + 2}

である。なお， $k = n + 2$ のときは全カードを取るので確率0となり，この式にも含まれている。

(2)

積が2となるためには，数字2のカードを取り出し，数字0のカードを取り出さず，残り $k - 1$ 枚を数字1のカードから取り出せばよい。したがって有利な取り出し方は $_{n} C_{k - 1}$ 通りである。よって $Q_{n} (k) = \frac{_{n} C _{k - 1}}{_{n + 2} C _{k}}$ である。これを整理すると

Q_{n} (k) = \frac{\frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k + 1 )!}}{\frac{( n + 2 )!}{k ! ( n + 2 - k )!}} = \frac{n ! k ! ( n + 2 - k )!}{( k - 1 )! ( n - k + 1 )! ( n + 2 )!} = \frac{k ( n + 2 - k )}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

となる。

(3)

分母 $(n + 1) (n + 2)$ は $k$ によらないので， $k (n + 2 - k)$ を $1 ≦ k ≦ n + 2$ の整数で最大にすればよい。ここで $k (n + 2 - k) = (\frac{n + 2}{2})^{2} - (k - \frac{n + 2}{2})^{2}$ であるから， $k$ は $(n + 2) /2$ に最も近い整数を選べばよい。 $n$ が偶数のとき， $n + 2$ も偶数である。このとき最大となるのは $k = \frac{n + 2}{2}$ であり，最大値は

Q_{n} (\frac{n + 2}{2}) = \frac{( \frac{n + 2}{2} ) ^{2}}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{n + 2}{4 ( n + 1 )}

である。 $n$ が奇数のとき， $(n + 2) /2$ は半整数であるから，最大となる $k$ は $k = \frac{n + 1}{2}, \frac{n + 3}{2}$ の2つである。このとき $k (n + 2 - k) = \frac{n + 1}{2} \cdot \frac{n + 3}{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 3 )}{4}$ なので，最大値は $\frac{( n + 1 ) ( n + 3 )}{4 ( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{n + 3}{4 ( n + 2 )}$ である。

別解。(2)は特殊な2枚のカードに注目して順に考えてもよい。数字2のカードが選ばれる確率は $k / (n + 2)$ である。そのうえで，残り $n + 1$ 枚のうち数字0のカードを避けて，残り $k - 1$ 枚を選ぶ確率は $(n + 2 - k) / (n + 1)$ である。したがって

Q_{n} (k) = \frac{k}{n + 2} \cdot \frac{n + 2 - k}{n + 1} = \frac{k ( n + 2 - k )}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

となり，同じ式が得られる。

名古屋大学 2016年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2016年度
文系数学第2問