問題
次の問に答えよ。
(1) を計算し，2重根号を用いない形で表せ。
(2) とするとき，整数係数の4次多項式でとなるもののうち，の係数が1であるものを求めよ。
(3) 8つの実数
（ただし，複合はすべての可能性にわたる）の中で，(2)で求めたに対して方程式の解となるものをすべて求よ。
方針
まず 、 とおき、 と を押さえる。(1)は を計算するだけでよい。(2)では 、 として を使い、 から を消去して4次方程式を作る。(3)は平方で作った方程式なので、8つの符号候補のうち本当に元の符号条件を満たすものを判定する。
解答
(1)
とおく。このとき であり、また である。 は正なので である。したがって
である。よって である。
(2)
とおく。(1)より であり、また である。したがって であるから が成り立つ。展開して を用いると であり、整理して を得る。両辺を2乗し、 を用いると である。よって は を満たす。左辺を展開すると である。したがって求める多項式として が取れる。
(3)
8つの数を と書く。ただし である。 とおくと である。したがって
である。
一方、 は と同値である。上の形を見ると、 のとき
であるから となり、確かに を満たす。
逆に の4つは解でないことを確認する。 のときは であり、 である。 とすると となり不可能である。また とすると が必要である。しかし であるから、 は にならない。
のときは であり、 である。 とすると となり不可能である。また とすると が必要であるが、 は より大きく、 は負である。したがってこの場合も解でない。
よって解となる条件は である。
したがって、8つのうち解となるものは の4つである。