問題
座標平面上の円と，軸上の2点，を考える。ただし，，，とする。点，のそれぞれからに軸とは異なる接線を引き，その2つの接線の交点をとする。このとき，次の問に答えよ。
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) の座標を，で表せ。
(3) の座標が正であるとき，の周の長さをとする。を，で表せ。
(4) 2点，が，条件「であり，の座標は正である」を満たしながら動くとき，を最小とするの値とそのときのの値を求めよ。
方針
円は中心 、半径 である。点 からの接線は、傾き の直線として置き、中心から直線までの距離が である条件で求める。 のときだけ接線は垂直線になるので、式の導出ではこの場合も確認する。同様に点 からの接線を求め、2直線の交点 を出す。周長は座標差から を計算し、 の 座標が正である条件 のもとで整理する。最後は で を最大化すればよい。
解答
(1)
円 の中心は 、半径は である。点 を通る、 軸とは異なる接線をまず の場合に求める。直線を とおくと、標準形は である。この直線が円 に接するための条件は、中心 から直線までの距離が であること、すなわち である。よって となる。展開して整理すると である。 は 軸であり除くので である。したがって である。
なお のときは、上の傾き表示ではなく垂直線 が を通る 軸以外の接線である。実際、中心 から直線 までの距離は である。
(2)
同様に、 のとき点 を通る 軸以外の接線は である。 のときは垂直線 である。
まず として交点を求める。 とすると である。これらを等置して を得る。両辺に を掛けると である。 の係数は であり、定数項は である。したがって であり、、 より である。これを例えば に代入すると だから である。
または の垂直接線の場合も、この式はそのまま成り立つ。よって である。
(3)
の 座標は である。 より、これが正であることは と同値である。以下 とする。
まず である。また
なので
である。同様に
より である。
したがって周の長さ は
である。よって である。
別解。 と を直接距離で計算する代わりに、接線の長さを使っても周長を求められる。点 から円へ引いた2本の接線の長さは等しいので、 軸上の接点 までの長さから、点 からもう一方の接点までの長さは である。同様に、点 から接点までの長さは である。
また、点 から円に引いた2本の接線の長さは等しい。その共通の長さを とする。 の方べきを用いると
である。右辺を整理すると であり、 より である。したがって となり を得る。
(4)
より である。(3)から である。ここで とおくと、条件 の 座標が正であることから であり である。したがって の範囲では、 が大きいほど は小さい。
一方、 のもとでは であり、等号は のときに成り立つ。このとき なので条件も満たす。よって は のとき最小となり、その値は である。したがって である。