名古屋大学 2014年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面の $y ≧ 0$ の部分にあり， $x$ 軸に接する円の列 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \dots$ を次のように定める。

● $C_{1}$ と $C_{2}$ は半径1の円で，互いに外接する。

● 正の整数 $n$ に対し， $C_{n + 2}$ は $C_{n}$ と $C_{n + 1}$ に外接し， $C_{n}$ と $C_{n + 1}$ の弧および $x$ 軸で囲まれる部分にある。

円 $C_{n}$ の半径を $r_{n}$ とする。

(1) 等式 $\frac{1}{r _{n + 2}} = \frac{1}{r _{n}} + \frac{1}{r _{n + 1}}$ を示せ。

(2) すべての正の整数 $n$ に対して $\frac{1}{r _{n}} = s α^{n} + t β^{n}$ が成り立つように， $n$ によらない定数 $α$ ， $β$ ， $s$ ， $t$ の値を一組与えよ。

(3) $n \to \infty$ のとき数列 ${\frac{r _{n}}{k ^{n}}}$ が正の値に収束するように実数 $k$ の値を定め，そのときの極限値を求めよ。

出典：名古屋大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

x軸に接する2円の外接条件を、半径の平方根で表す。半径 $r, s$ の2円がともにx軸に接して外接するとき、中心間の水平距離は $2 r s$ である。隙間に入る $C_{n + 2}$ について、この水平距離が2つの水平距離の和になることから(1)を導く。(2) は $u_{n} = 1/ r_{n}$ とおいてフィボナッチ型漸化式を解く。(3) は支配項 $α^{n}$ から $r_{n}$ の減少率を読み取り、正の有限極限になる $k$ を決める。

解答

(1)

まず、半径 $r$ 、 $s$ の2つの円がともに $x$ 軸に接し、互いに外接している場合を考える。中心の高さはそれぞれ $r$ 、 $s$ であり、中心間の距離は $r + s$ である。中心間の水平距離を $h$ とすると $h^{2} + (r - s)^{2} = (r + s)^{2}$ である。したがって $h^{2} = 4 r s$ より $h = 2 r s$ である。

いま $C_{n + 2}$ は $C_{n}$ と $C_{n + 1}$ の間の、2つの弧と $x$ 軸で囲まれる部分にある。したがって、 $C_{n}$ と $C_{n + 1}$ の中心間の水平距離は、 $C_{n}$ と $C_{n + 2}$ 、および $C_{n + 2}$ と $C_{n + 1}$ の中心間の水平距離の和である。

よって $2 r_{n} r_{n + 1} = 2 r_{n} r_{n + 2} + 2 r_{n + 1} r_{n + 2}$ が成り立つ。両辺を $2 r_{n} r_{n + 1} r_{n + 2}$ で割ると

\frac{1}{r _{n + 2}} = \frac{1}{r _{n}} + \frac{1}{r _{n + 1}}

を得る。

(2)

$u_{n} = \frac{1}{r _{n}}$ とおく。(1) より $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$ である。また $r_{1} = r_{2} = 1$ だから $u_{1} = u_{2} = 1$ である。

特性方程式は $λ^{2} = λ + 1$ すなわち $λ^{2} - λ - 1 = 0$ である。2つの解を $α = \frac{1 + 5}{2}, β = \frac{1 - 5}{2}$ とおく。このとき $u_{n} = \frac{α ^{n} - β ^{n}}{5}$ は $u_{1} = u_{2} = 1$ を満たし、かつ漸化式も満たす。

したがって、条件を満たす一組として

α = \frac{1 + 5}{2}, β = \frac{1 - 5}{2}, s = \frac{1}{5}, t = - \frac{1}{5}

をとればよい。

(3)

(2) より $\frac{1}{r _{n}} = \frac{α ^{n} - β ^{n}}{5}$ である。ここで $∣ β ∣ < 1 < α$ であるから、 $n \to \infty$ のとき $\frac{β ^{n}}{α ^{n}} \to 0$ である。したがって $\frac{1}{r _{n}} \sim \frac{α ^{n}}{5}$ であり、 $r_{n} \sim 5 α^{- 2 n}$ である。

よって $r_{n} / k^{n}$ が正の値に収束するためには $k = α^{- 2}$ でなければならない。実際、 $α^{2} = α + 1 = \frac{3 + 5}{2}$ だから $k = \frac{1}{α ^{2}} = \frac{3 - 5}{2}$ である。

このとき

\frac{r _{n}}{k ^{n}} = r_{n} α^{2 n} = \frac{5 α ^{2 n}}{( α ^{n} - β ^{n} ) ^{2}} = \frac{5}{( 1 - ( β / α ) ^{n} ) ^{2}}

である。 $∣ β / α ∣ < 1$ なので極限は $5$ である。したがって

k = \frac{3 - 5}{2}, n \to \infty lim \frac{r _{n}}{k ^{n}} = 5

である。

名古屋大学 2014年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2014年度
理系数学第3問