名古屋大学 2014年度
理系数学 第1問

解答

(1)

球の中心を $O$ とし、$O$ から直線 $l$ までの距離を $d$ とする。球の半径は1である。直線 $l$ と球の交わりは、中心から距離 $d$ の位置での弦であり、その長さは $2\sqrt{1-d^2}$ である。

これが $\sqrt{3}$ に等しいので $2\sqrt{1-d^2}=\sqrt{3}$ である。両辺を2で割って2乗すると $1-d^2=\frac{3}{4}$ だから $d^2=\frac{1}{4}$ である。距離は正なので $\boxed{d=\frac{1}{2}}$ である。

(2)

直線 $l$ を $z$ 軸とし、球の中心を $\left(\frac{1}{2},0,0\right)$ にとる。このとき球は ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2+z^2\leqq 1$ で表される。

高さ $z$ で切ると、$xy$ 平面内に ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2\leqq 1-z^2$ という円板が現れる。この円板の半径を $\rho =\sqrt{1-z^2}$ とおく。円板の中心は回転軸から距離 $1/2$ の位置にある。 $\rho \geqq 1/2$、すなわち $|z|\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、円板は回転軸を含む。したがって回転後の高さ $z$ における断面は半径 $\rho +1/2$ の円であり、面積は $\pi {\left(\rho +\frac{1}{2}\right)}^2$ である。

一方、$\rho <1/2$、すなわち $\frac{\sqrt{3}}{2}<|z|\leqq 1$ のとき、円板は回転軸を含まない。回転後の断面は外半径 $\rho +1/2$、内半径 $1/2-\rho$ の円環であるから、面積は

である。

図形は $z=0$ について対称なので、体積 $V$ は

である。

まず ${\left(\frac{1}{2}+\sqrt{1-z^2}\right)}^2=\frac{5}{4}-z^2+\sqrt{1-z^2}$ である。よって

である。また ${\int }_0^{\sqrt{3}/2}\sqrt{1-z^2}dz=\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\pi }{6}$ である。これは、単位円の扇形と三角形の面積、または $z=\sin \theta$ の置換で得られる。

したがって前半の体積は

である。

次に

である。したがって後半の体積は

である。

以上より

である。