問題
実数に対して2点，を考える。がの範囲を動くとき，線分が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ。
出典：名古屋大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
文系第3問の通過領域部分と同じ構造である。2点を通る直線を と表し、固定した に対して を の2次関数として最大化する。線分上にあるための条件 も合わせると、下端は放物線 、上端は 、、 の3つに切り替わる。最後に縦切りで面積を積分する。
解答
2点 を通る直線の傾きは である。したがって直線 は すなわち である。
固定した に対し、右辺を の関数と見ると である。これは下向きに開く2次式で、軸は である。
線分 上の点であるためには であり、さらに である。通過領域の 座標の範囲は である。
縦に切って考えると、下側の境界は端点 が動く放物線 である。上側の境界は、上の2次式の最大値で与えられる。 のとき、軸 は許される の範囲の左側にあるので、最大値は端でとり となる。 のとき、軸が許される範囲に入り、最大値は となる。 のとき、軸は許される範囲の右側にあり、最大値は端でとり となる。
したがって通過領域は、下側を 、上側を
で囲まれる図形である。
面積 は
左右の積分は等しく、 である。また中央の積分は である。よって である。