名古屋大学 2014年度文系数学第3問解答・解説

問題

実数 $t$ に対して2点 $P (t, t^{2})$ ， $Q (t + 1, (t + 1)^{2})$ を考える。

(1) 2点 $P$ ， $Q$ を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) $a$ は定数とし，直線 $x = a$ と $l$ の交点の $y$ 座標を $t$ の関数と考えて $f (t)$ とおく。 $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 0$ の範囲を動くときの $f (t)$ の最大値を $a$ を用いて表せ。

(3) $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 0$ の範囲を動くとき，線分 $P Q$ が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ。

出典：名古屋大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

(1) は2点の傾きから直線 $l$ を求める。(2) は $x = a$ での高さを $t$ の2次関数 $f (t) = - t^{2} + (2 a - 1) t + a$ と見て、区間 $[- 1, 0]$ で最大化する。軸 $t = a - 1/2$ が区間の左外、内側、右外のどこにあるかで場合分けする。(3) は線分の通過領域を縦に切り、下端が放物線 $y = x^{2}$ 、上端が(2)で得た最大値になることを用いて図示と面積計算を行う。

解答

(1)

2点 $P (t, t^{2}), Q (t + 1, (t + 1)^{2})$ を通る直線の傾きは $\frac{( t + 1 ) ^{2} - t ^{2}}{( t + 1 ) - t} = 2 t + 1$ である。したがって、直線 $l$ は $y - t^{2} = (2 t + 1) (x - t)$ と表される。右辺を整理して

y = (2 t + 1) x - (2 t + 1) t + t^{2} = (2 t + 1) x - t (t + 1)

である。よって $y = (2 t + 1) x - t (t + 1)$ である。

(2)

直線 $x = a$ と $l$ の交点の $y$ 座標は $f (t) = (2 t + 1) a - t (t + 1)$ である。すなわち $f (t) = - t^{2} + (2 a - 1) t + a$ である。これは下向きに開く2次関数で、軸は $t = a - \frac{1}{2}$ である。 $t$ は $- 1 ≦ t ≦ 0$ を動く。

軸が区間の左にある、すなわち $a - \frac{1}{2} < - 1$ のとき、 $a < - 1/2$ であり、 $f (t)$ は区間上で減少する。したがって最大値は $t = - 1$ でとり、 $f (- 1) = - (1) - (2 a - 1) + a = - a$ である。

軸が区間内にある、すなわち $- 1 ≦ a - \frac{1}{2} ≦ 0$ のとき、 $- 1/2 ≦ a ≦ 1/2$ であり、最大値は軸でとる。この値は

f (a - \frac{1}{2}) = - (a - \frac{1}{2})^{2} + (2 a - 1) (a - \frac{1}{2}) + a = (a - \frac{1}{2})^{2} + a = a^{2} + \frac{1}{4}

である。

軸が区間の右にある、すなわち $a - \frac{1}{2} > 0$ のとき、 $a > 1/2$ であり、 $f (t)$ は区間上で増加する。したがって最大値は $t = 0$ でとり、 $f (0) = a$ である。

よって求める最大値は

⎩ ⎨ ⎧ - a a^{2} + \frac{1}{4} a (a < - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2} ≦ a ≦ \frac{1}{2}), (a > \frac{1}{2})

である。

(3)

線分 $P Q$ は、直線 $l$ のうち $t ≦ x ≦ t + 1$ を満たす部分である。 $- 1 ≦ t ≦ 0$ なので、通過領域の $x$ 座標の範囲は $- 1 ≦ x ≦ 1$ である。

固定した $x = a$ について、線分上に点があるためには $t ≦ a ≦ t + 1$ すなわち $a - 1 ≦ t ≦ a$ であり、さらに $- 1 ≦ t ≦ 0$ が必要である。この範囲での $y$ 座標は (2) の $f (t)$ で与えられる。

下端は端点 $P, Q$ が動く放物線 $y = x^{2}$ である。実際、固定した $x = a$ に対して許される $t$ の端点のどちらかで、線分の端点が $(a, a^{2})$ になる。

上端は (2) の最大値を $a = x$ として用いればよい。したがって

⎩ ⎨ ⎧ y = - x y = x^{2} + \frac{1}{4} y = x (- 1 ≦ x < - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} < x ≦ 1)

が上側の境界である。

よって領域は、下側を $y = x^{2}$ 、上側を上の3つの曲線・直線で囲まれる図形である。面積は

S = \int_{- 1}^{- 1/2} (- x - x^{2}) d x + \int_{- 1/2}^{1/2} (x^{2} + \frac{1}{4} - x^{2}) d x + \int_{1/2}^{1} (x - x^{2}) d x .

左右の2つの積分は対称であり、

\int_{1/2}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{1/2}^{1} = \frac{1}{12}

である。また中央は $\int_{- 1/2}^{1/2} \frac{1}{4} d x = \frac{1}{4}$ である。したがって $S = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$ である。

名古屋大学 2014年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2014年度
文系数学第3問