問題
原点を中心とする半径1の円をとし，軸上に点をとる。ただしとする。からへ引いた2本の接線の接点を結ぶ直線が軸と交わる点をとする。
(1) の座標を求めよ。
(2) 点が上にあるとき，がによらず一定であることを示し，その値をを用いて表せ。
(3) 上の点がをみたすとする。このようなの座標と線分の長さを求めよ。
出典：名古屋大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
接点を直接 とおき、半径 と接線 の直交条件から接点の 座標を決める。これにより接点を結ぶ直線は 、したがって が分かる。(2) は 、 として と を比較する。(3) は を内積 で表し、円の方程式と連立して と を求める。
解答
(1)
接点の1つを とおく。 は円 上にあるので である。また、半径 は接線 と垂直である。したがって であり、 を得る。これを展開すると である。 より だから である。
2つの接点はどちらも 上にあるので、接点を結ぶ直線は である。したがってこの直線と 軸との交点は であり、求める 座標は である。
(2)
上の点を とおく。このとき である。まず
である。一方、 だから
したがって である。 であり、距離は正なので である。これは の位置によらない。よって一定値は である。
(3)
は と同値である。ここで
だから である。展開すると であり、 を用いて を得る。したがって である。
さらに より
だから である。よって求める点は である。
最後に の長さを求める。 である。 より である。