問題
大小合わせて2個のサイコロがある。サイコロを投げると，1から6までの整数の目が等しい確率で出るとする。
(1) 2個のサイコロを同時に投げる。出た目の差の絶対値について，その期待値を求めよ。
(2) 2個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なるときはそこで終了する。出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する。終了時に出ている目の差の絶対値について，その期待値を求めよ。
方針
(1) は大小2個のサイコロを区別し、差の絶対値が になる場合の数 を数えて期待値を求める。(2) は「最初に異なる目が出た場合」と「最初に同じ目が出て小さいサイコロを振り直す場合」に分ける。前者の寄与は(1)の和から同目の0寄与を除いたものと同じで、後者は同目が出る確率 に、固定された大きいサイコロの目と振り直した小さいサイコロの差の期待値を掛ける。
解答
(1)
大小2個のサイコロを区別して考える。全体の場合の数は 通りである。
差の絶対値が であるとする。ただし である。このとき、小さい方の目を基準にして の 通りがあり、大小のサイコロのどちらが大きい目を出すかで2倍される。したがって場合の数は 通りである。 の場合は期待値への寄与が0なので、求める期待値は
よって である。
(2)
最初に2個のサイコロを同時に投げたとき、目が異なればそこで終了する。この場合の期待値への寄与は、(1) で数えた差が正である場合の寄与そのものであり、 である。
次に、最初に同じ目が出た場合を考える。この確率は である。このとき大きいサイコロの目はそのまま残り、小さいサイコロだけをもう一度投げる。最初に同じ目が出たという条件のもとで、残っている大きいサイコロの目は のいずれも同じ確率である。また、振り直した小さいサイコロの目も のいずれも同じ確率で独立に出る。
したがって、振り直し後の差の絶対値の期待値は、独立な2個のサイコロの差の絶対値の期待値と同じで、(1) より である。
以上より、求める期待値は
である。