問題
，を3以上の奇数とし，はで割り切れないとする。
(1) の展開式におけるの項の係数を求めよ。
(2) はで割り切れることを示せ。
(3) はで割り切れないことを示せ。
(4) を正の整数とし，とする。はで割り切れることを示せ。
出典：名古屋大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
(1)は文系と同じく二項定理で の係数を読む。(2)は と奇数性で示す。(3)は を二項展開し、定数項が と打ち消し合った後の一次項が であることを見る。 は で割り切れないので、全体は では割れるが では割れない。(4)は を使う帰納法で、 が 、後ろの因数がさらに3で割れることを示す。
解答
(1)
二項定理より である。 の係数は の項から である。したがって である。
(2)
であり、 は奇数である。よって である。したがって は で割り切れる。
(3)
二項定理より である。展開すると、定数項は であり、最後の と打ち消し合う。一次項は である。二次以上の項はすべて で割り切れるので、ある整数 を用いて と書ける。
仮定より は で割り切れない。したがって も で割り切れない。よって は では割り切れるが、 では割り切れない。すなわち である。
(4)
に関する数学的帰納法で示す。 のときは であり、(2)で とすれば は3で割り切れる。よって成り立つ。
次に、ある について が で割り切れると仮定する。 とおくと であり、特に である。
次の段階では である。第1因数 は で割り切れる。また であるから、第2因数は3で割り切れる。したがって は で割り切れる。
以上より、数学的帰納法により が成り立つ。